Bài 15 trang 172 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng phương trình luôn có...

Giả sử hai hàm số (y = fleft( x ight)) và (y = fleft( {x + {1 over 2}} ight)) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và (fleft( 0 ight) = fleft( 1 ight)) Chứng minh rằng phương trình (fleft( x ight) – fleft( {x + {1 over 2}} ight) = 0) luôn có nghiệm trong đoạn (left[ {0;{1 over 2}} ight])

Giải :

Xét hàm số (gleft( x ight) = fleft( x ight) – fleft( {x + {1 over 2}} ight))

Ta có

(eqalign{
& gleft( 0 ight) = fleft( 0 ight) – fleft( {0 + {1 over 2}} ight) cr
& = fleft( 0 ight) – fleft( {{1 over 2}} ight) cr
& gleft( {{1 over 2}} ight) = fleft( {{1 over 2}} ight) – fleft( {{1 over 2} + {1 over 2}} ight) cr
& = fleft( {{1 over 2}} ight) – fleft( 1 ight) cr
& = fleft( {{1 over 2}} ight) – fleft( 0 ight) cr} )

(vì theo giả thiết (fleft( 0 ight) = fleft( 1 ight))).

Do đó,

(eqalign{
& gleft( 0 ight)gleft( {{1 over 2}} ight) = left[ {fleft( 0 ight) – fleft( {{1 over 2}} ight)} ight]left[ {fleft( {{1 over 2}} ight) – fleft( 0 ight)} ight] cr
& = – {left[ {fleft( 0 ight) – fleft( {{1 over 2}} ight)} ight]^2} le 0. cr})

–          Nếu (gleft( 0 ight)gleft( {{1 over 2}} ight) = 0) thì x = 0 hay (x = {1 over 2}) là nghiệm của phương trình (gleft( x ight) = 0)

–          Nếu (gleft( 0 ight)gleft( {{1 over 2}} ight) < 0)   (1)

Vì (y = fleft( x ight)) và (y = fleft( {x + {1 over 2}} ight)) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số (y = gleft( x ight)) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên (left[ {0;{1 over 2}} ight])    (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (gleft( x ight) = 0) có ít nhất một nghiệm trong khoảng

Kết luận : Phương trình (gleft( x ight) = 0) hay (fleft( x ight) – fleft( {x + {1 over 2}} ight) = 0) luôn có nghiệm trong đoạn (left( {0;{1 over 2}} ight))