Bài 11 trang 93 Hình 12: Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆...

Bài 11. Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với mặt phẳng toạ độ ((Oxz)) và cắt hai đường thẳng

(d:left{ matrix{
x = t hfill cr
y = – 4 + t hfill cr
z = 3 – t hfill cr} ight.)

(d’:left{ matrix{
x = 1 – 2k hfill cr
y = – 3 + k hfill cr
z = 4 – 5k. hfill cr} ight.)

Giải

Gọi (M) là điểm thuộc đường thẳng (d), toạ độ của (M) là (M( t; -4 + t; 3 – t)). (N) là điểm thuộc đường thẳng (d’), toạ độ của (N) là (N(1 – 2k; -3 + k; 4 – 5k)).

Ta có: (overrightarrow {MN}= (1 – 2k – t; 1 + k – t; 1 – 5k + 1))

Vì (MN ⊥ (Oxz)) nên (MN ⊥ Ox) và (MN ⊥ Oz)

(Ox) có vectơ chỉ phương (overrightarrow i = (1; 0; 0));

(Oz) có vectơ chỉ phương (overrightarrow j  = (0; 0; 1)).

(MN ⊥ Ox)

( Leftrightarrow (1 – 2k – t).1 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t).0)

      (= 0)

( Leftrightarrow 1 – 2k – t = 0)                                           (1)

(MN ⊥ Oz)

( Leftrightarrow (1 – 2k – t).0 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t) = 0)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

(left{ matrix{
1 – 2k – t = 0 hfill cr
1 – 5k + t = 0 hfill cr} ight.)

 Hệ này cho ta (k = {2 over 7}); t =({3 over 7})

và được toạ độ của M(left( {{3 over 7}; – {{25} over 7};{{18} over 7}} ight)) , N(left( {{3 over 7}; – {{19} over 7};{{18} over 7}} ight))

Từ đây ta có (overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)) và được phương trình đường thẳng (MN) là:

(left{ matrix{
x = {3 over 7} hfill cr
y = – {{25} over 7} + t hfill cr
z = {{18} over 7} hfill cr} ight.)