Bài 10 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 10 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

Bài 10. Cho hình chóp (S.ABC) có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, (SA = a, SB = b, SC = c) và ba cạnh (SA, SB, SC) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

Giải:

Gọi (I) là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác (S.ABC). Hạ (IJ) vuông góc ((SAB)), vì (J) cách đều (3) điểm (S, A, B) nên (J) cũng cách đều (3) điểm (S, A, B).

Vì tam giác (SAB) vuông đỉnh (S) nên (J) là trung điểm của (AB).

Ta có (SJ ={1 over 2}AB = {1 over 2}sqrt {{a^2} + {b^2}})

Do (SC) vuông góc ((SAB)) nên (IJ // SC).

Gọi (H) là trung điểm (SC), ta có (SH = IJ = {c over 2}).

Do vậy, (I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} over 4}) và  bán kính hình cầu ngoại tiếp (S.ABC) là 

(r = IS = {1 over 2}sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} )

Diện tích mặt cầu là:

(S = 4pi {r^2} = pi ({a^2} + {b^2} + {c^2}))