Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1). a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho b)...

Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).
a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho (M{A^2} – M{B^2} = 2.)
b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho (N{A^2} + N{B^2} = 3.)
c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).

Giải

a) Giả sử M(x, y, z) ta có: (M{A^2} – M{B^2} = 2.)

(eqalign{
& Leftrightarrow {left( {1 – x} ight)^2} + {left( { – 1 – y} ight)^2} + {left( {2 – z} ight)^2} – {left( {2 – x} ight)^2} – {y^2} – {left( {1 – z} ight)^2} = 2 cr
& Leftrightarrow 2x + 2y – 2z – 1 = 0. cr} )

Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình (2x + 2y – 2z – 1 = 0.)

b) Giả sử N(x, y, z) ta có: (N{A^2} + N{B^2} = 3.)

(eqalign{
& Leftrightarrow {left( {1 – x} ight)^2} + {left( { – 1 – y} ight)^2} + {left( {2 – z} ight)^2} + {left( {2 – x} ight)^2} + {y^2} + {left( {1 – z} ight)^2} = 3 cr
& Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 3x + y – 3z + 4 = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {x – {3 over 2}} ight)^2} + {left( {y + {1 over 2}} ight)^2} + {left( {z – {3 over 2}} ight)^2} = {3 over 4}. cr} )

Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm (Ileft( {{3 over 2}; – {1 over 2};{3 over 2}} ight)), bán kính ({{sqrt 3 } over 2}.)
c) Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left[ {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {OB} } ight] = left( { – 1;3;2} ight)) nên có phương trình: ( – x + 3y + 2z = 0.)
Mp(Oxy) có phương trình z = 0.
Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:

(eqalign{
& {{left| { – x + 3y + 2z} ight|} over {sqrt {1 + 9 + 4} }} = left| z ight| Leftrightarrow – x + 3y + 2z = pm sqrt {14} z cr
& Leftrightarrow x – 3y + left( { pm sqrt {14} – 2} ight)z = 0. cr} )