Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có phương trình trong đó a, b, c thay đổi sao cho a) Chứng minh...

Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (Delta ) có phương trình 

(left{ matrix{
x = 1 + at hfill cr
y = 1 + bt hfill cr
z = 5 + ct hfill cr} ight.) trong đó a, b, c thay đổi sao cho ({c^2} = {a^2} + {b^2}.)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (Delta ) đi qua một điểm cố định, góc giữa (Delta ) và Oz là không đổi.
b) Tìm quỹ tích các giao điểm của (Delta ) và mp(Oxy).

Giải

a) (Delta ) đi qua điểm A(1; 1; 5) cố định.
(Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {a,b,c} ight).)
Gọi (varphi ) là góc giữa (Delta ) và trục Oz. Ta có:
(cos varphi  = left| {cos left( {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight)} ight| = left| {{c over {sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} ight| = left| {{c over {csqrt 2 }}} ight| = {{sqrt 2 } over 2}.)
Suy ra (varphi  = {45^0}.)
b) Vì ({c^2} = {a^2} + {b^2}) nên (c e 0) (vì nếu c = 0 thì a = b = 0).
Gọi M(x, y, z) là giao điểm của (Delta ) và mp(Oxy) thì (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình:

(left{ matrix{
x = 1 + at hfill cr
y = 1 + bt hfill cr
z = 5 + ct hfill cr
z = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x – 1 = at hfill cr
y – 1 = bt hfill cr
t = – {5 over c} hfill cr
z = 0 hfill cr} ight..)

Từ đó suy ra ({left( {x – 1} ight)^2} + {left( {y – 1} ight)^2} = left( {{a^2} + {b^2}} ight).{{25} over {{c^2}}} = 25) và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1; 1; 0) bán kính bằng 5 và nằm trong mp(Oxy).