Bài 1 trang 126 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh các đăng thức sau...

Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông (A{A’}{B_1}B,,,B{B’}{C_1}C,,,C{C’}{A_1}A) .

Chứng  minh các đăng thức sau

a) ((overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}} ).,overrightarrow {AC}  = 0)

b) ((overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}}  + overrightarrow {C{C’}} ).,overrightarrow {AC}  = 0)

c) (overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}}  + overrightarrow {C{C’}}  = 0)

d) (overrightarrow {A{B_1}}  + overrightarrow {B{C_1}}  + overrightarrow {C{A_1}}  = 0)

Giải

a) Kẻ (AH ot BC) ta chứng minh đường thẳng AH cắt A’A₁ tại trung điểm I của A’A₁. Kẻ .

Ta có: ({A’}M ot AH,,,,{A_1}N ot AH)

(eqalign{
& Delta AHB = Delta {A’}MA,,, Rightarrow ,,{A’}M = AH cr
& Delta AHC = Delta {A_1}NA,,, Rightarrow ,,{A_1}N = AH cr} )                             

Từ đó suy ra: (Delta IM{A’} = Delta IN{A_1},,, Rightarrow ,,I{A’} = ,,I{A_1},)

Tương tự gọi J là trung điểm ({B_1}{B’}) thì (BJ ot AC) .

Ta có           

(overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}}  = overrightarrow {B{B_1}}  + overrightarrow {B{B’}}  = 2overrightarrow {BJ} )

(Rightarrow ,,(overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}} ).,overrightarrow {AC}  = 0)               

b) Theo câu a) và (overrightarrow {C{C’}}  ot overrightarrow {AC} ) nên ((overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}}  + overrightarrow {C{C’}} ).,overrightarrow {AC}  = 0) .

c) Đặt (overrightarrow u  = overrightarrow {A{A’}}  + overrightarrow {B{B’}}  + overrightarrow {C{C’}} ).

Ta có (overrightarrow u .,overrightarrow {AC}  = 0,,,overrightarrow u .,overrightarrow {AB}  = 0,)  . Suy ra (overrightarrow u  = overrightarrow 0 ) .

d) Ta có

(eqalign{
& overrightarrow {A{B_1}} + overrightarrow {B{C_1}} + overrightarrow {C{A_1}}cr& = overrightarrow {A{A’}} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {B{B’}} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {C{C’}} + overrightarrow {CA} cr
&  = overrightarrow {A{A’}} + overrightarrow {B{B’}} + overrightarrow {C{C’}} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CA} = overrightarrow 0 cr} )