Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất ...
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất
Chứng minh phương trình ({x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0) có nghiệm duy nhất
(Đề thi đại học năm 2004)
Hướng dẫn làm bài:
Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét
x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0
=> (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1
Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc ({ m{[}}1; + infty { m{]}}) .
Xét hàm số (f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1) ta thấy f(x) liên tục trên R
Mặt khác, (f(1) = - 3 < 0,f(2) = 23 > 0)
Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại ({x_0} in (1;2)) sao cho (f({x_0}) = 0)
Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4
= 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , (forall x ge 1)
Suy ra f(x) đồng biến trên ({ m{[}}1; + infty { m{]}})
Sachbaitap.com