Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ( an x > sin x,0 < x < {pi  over 2})

b) (1 + {1 over 2}x - {{{x^2}} over 8} < sqrt {1 + x}  < 1 + {1 over 2}x) với (0 < x <  + infty )

Hướng dẫn làm bài:

a) Xét hàm số (f(x) = an x - sin x)  trên nửa khoảng ({ m{[}}0;{pi  over 2})) ;

 (f'(x) = {1 over {{{cos }^2}x}} - cos x = {{1 - {{cos }^3}x} over {{{cos }^2}}} ge 0;x in { m{[}}0;{1 over 2}))              

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng ({ m{[}}0;{pi  over 2})) 

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0  hay tan x > sin x với mọi (x in { m{[}}0;{1 over 2}))

b) Xét hàm số (h(x) = 1 + {1 over 2}x - sqrt {1 + x}) trên $${ m{[}}0; + infty )$$

(eqalign{
& h'(x) = {1 over 2} - {1 over {2sqrt {1 + x} }} ge 0 cr
& 1 + {1 over 2}x - {{{x^2}} over 8} < sqrt {1 + x} ,0 le x le + infty cr} )

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng ({ m{[}}0; + infty )).

Vì h(x) = 0 nên (h(x) = 1 + {1 over 2}x - sqrt {1 + x}  > 0)

Hay (1 + {1 over 2}x > sqrt {1 + x} ) với (0 le x <  + infty )

Xét hàm số  trên (f(x) = sqrt {1 + x}  - 1 - {1 over 2}x + {{{x^2}} over 8}) trên ({ m{[}}0; + infty )) ;

(eqalign{
& g(x) = f'(x) = {1 over {2sqrt {1 + x} }} - {1 over 2} + {x over 4} cr
& g'(x) = {1 over 4} - {1 over {4(1 + x)sqrt {1 + x} }} ge 0,0 le x < + infty cr} )

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng ({ m{[}}0; + infty )) nên (g(x) ge 0) , tức là (f'(x) ge 0) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

(f(x) = sqrt {1 + x}  - 1 - {1 over 2}x + {{{x^2}} over 8} > 0)

hay (1 + {1 over 2}x - {{{x^2}} over 8} < sqrt {1 + x} )

Với mọi (0 < x <  + infty ).