Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

Cho n số thực ({a_1},{a_2},...,{a_n}) thoả mãn điều kiện

( - 1 < {a_i} le 0) với (i = overline {1,n} )

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

(left( {1 + {a_1}} ight)left( {1 + {a_2}} ight)...left( {1 + {a_n}} ight) ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n})   

Giải:

Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với (n = k ge 1) tức là

(left( {1 + {a_1}} ight)left( {1 + {a_2}} ight)...left( {1 + {a_k}} ight) ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k})  (1)

Nhân hai vế của (1) với (1 + {a_{k + 1}}) ta được

(eqalign{
& left( {1 + {a_1}} ight)left( {1 + {a_2}} ight) ldots left( {1 + {a_k}} ight)left( {1 + {a_{k + 1}}} ight) ge left( {1 + {a_1} + {a_2} + ldots + {a_n}} ight)left( {1 + {a_{k + 1}}} ight) cr
& = 1 + {a_1} + {a_2} + ldots + {a_k} + {a_{k + 1}} + {a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + ldots + {a_k}{a_{k + 1}} cr})

Vì ({a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + ... + {a_k}.{a_{k + 1}} > 0) nên

(left( {1 + {a_1}} ight)left( {1 + {a_2}} ight)...left( {1 + {a_k}} ight)left( {1 + {a_{k + 1}}} ight) ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}), nghĩa là bất đẳng thức đúng với (n = k + 1.)