Bài 1.21 trang 30 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.

Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.

Giải:

Gọi ({Q_{left( {I,alpha } ight)}}) là phép quay tâm I góc (alpha ) . Lấy đường thẳng d bất kì qua I. Gọi d' là ảnh của d qua phép quay tâm I góc ({alpha  over 2}). Lấy điểm M bất kì và gọi (M' = {Q_{left( {I,alpha } ight)}}left( M ight)). Gọi M" là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục d. (M_1) là ảnh của M" qua phép đối xứng qua trục d'. Gọi J là giao của MM" với d, H là giao của (M'{M_1}) với d'. Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:

(eqalign{
& left( {IM,I{M_1}} ight) = left( {IM,IM'} ight) + left( {IM',I{M_1}} ight) cr
& = 2left( {IJ,IM'} ight) + 2left( {IM',IH} ight) cr
& = 2left( {IJ,IH} ight) cr
& = 2{alpha over 2} = a = left( {IM,IM'} ight) cr} )

Từ đó suy ra (M' equiv {M_1}). Như vậy M' có thể xem là ảnh của  sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục d và d'.