Bài 1.14 trang 20 sách bài tập – Hình học 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a....

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’  có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).

Hướng dẫn làm bài:

a) Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích khối chóp B’AMC. Ta có:

({S_{AMC}} = {3 over 4}{S_{ADC}} = {3 over 4}.{1 over 2}.2{a^2} = {{3{a^2}} over 4})

Do đó  ({V_{M.AB’C}} = {1 over 3}.{{3{a^2}} over 4}.a = {{{a^3}} over 4})

b) Gọi h là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

Khi đó  ({V_{M.AB’C}} = {1 over 3}{S_{AB’C}}.h = {{{a^3}} over 4})

Vì   AC² = B’C² = 5a²  nên tam giác ACB’ cân tại C. Do đó, đường trung tuyến CI của tam giác ACB’ cũng là đường cao.

Ta có:  (C{I^2} = { m{ }}C{A^2}-{ m{ }}A{I^2} = { m{ }}5{a^2} – {({{asqrt 2 } over 2})^2} = 5{a^2} – {{{a^2}} over 2} = {{9{a^2}} over 2})

Do đó  (CI = {{3a} over {sqrt 2 }}Rightarrow {S_{AB’C}} = {1 over 2}.{{3a} over {sqrt 2 }}.asqrt 2  = {{3{a^2}} over 2})

Từ đó suy ra (h = 3{{{a^3}} over 4}:{{3{a^2}} over 2} = {a over 2})