Bài 1.13 trang 20 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.

Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.

Hướng dẫn làm bài:

Ta có tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó. Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, h_A , h_B , h_C , h_D lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).

Khi đó ta có:

(V = {V_{MBCD}} + {V_{MCDA}} + {V_{MDAB}} + {V_{MABC}})

(= {1 over 3}S({h_A} + {h_B} + {h_C} + {h_D}))

Từ đó suy ra ({h_A} + {h_B} + {h_C} + {h_D} = {{3V} over S})

Sachbaitap.com