Bài 1.12 trang 20 sách bài tập – Hình học 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA...

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng  AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  (left{ {matrix{{BC ot SA} cr {BC ot AB} cr} } ight. Rightarrow BC ot (SAB))

Vì  (AD subset (SAB)) nên  (AD ot BC)

Mặt khác (AD ot SB)  nên  (AD ot (SBC))

Từ đó suy ra (AD ot SC)

(left{ {matrix{{SC ot AE} cr {SC ot AD} cr} } ight. Rightarrow  SC ot (ADE) Rightarrow  SC ot DE) hay (SE ot (ADE)) .

Trong tam giác vuông SAB ta có: (SA.AB = AD.SB Rightarrow AD = {{AB.SA} over {SB}} = {{ac} over {sqrt {{a^2} + {c^2}} }})

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: (AE = {{SA.AC} over {SC}} = {{csqrt {{a^2} + {b^2}} } over {sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }})

Do  (AD ot (SBC)) nên (AD ot DE) . Từ đó suy ra:

(DE = sqrt {A{E^2} – A{D^2}})

( = sqrt {{{{c^2}({a^2} + {b^2})} over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}} – {{{a^2}{c^2}} over {{a^2} + {c^2}}}})

( = {{{c^2}b} over {sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }})

(SE = sqrt {S{A^2} – A{E^2}})

( = sqrt {{c^2} – {{{c^2}({a^2} + {b^2})} over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}})

( = {{{c^2}} over {sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }})

Vậy  ({V_{S.ADE}} = {1 over 3}.{1 over 2}AD.DE.SE )

(= {1 over 6}{{ac} over {sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.{{{c^2}b} over {sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.{{{c^2}} over {sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }})

( = {{ab{c^5}} over {6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}})          

b) Gọi d là khoảng cách từ E  đến mặt phẳng (SAB)

Ta có: (SD = sqrt {S{A^2} – A{D^2}}  = sqrt {{c^2} – {{{a^2}{c^2}} over {{a^2} + {c^2}}}}  = {{{c^2}} over {sqrt {{a^2} + {c^2}} }})

({V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = {1 over 3}.{1 over 2}SD.AD.d )

(= {1 over 6}{{{c^2}} over {sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{ac} over {sqrt {{a^2} + {c^2}} }}d )

(= {1 over 6}{{a{c^3}} over {{a^2} + {c^2}}}d)

Kết hợp với kết quả trong câu a) ta suy ra  (d = {{b{c^2}} over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}})