Bài 1.11 trang 20 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a...

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 60⁰.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Hướng dẫn làm bài:

Kẻ (SH ot (ABC)) và HA’, HB’ , HC’ lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Theo định lí ba đường vuông góc ta có (SA’ ot BC,SB’ ot CA,SC’ ot AB)

Từ đó suy ra  (widehat {SA’H} = widehat {SB’H} = widehat {SC’H} = {60^0}).

Do đó các tam giác vuông SHA’ , SHB’ , SHC’ bằng nhau. Từ đó suy ra HA’ = HB’ = HC’ . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác  ABC. Do tam giác cân ở A nên AH vừa là đường phân giác , vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Từ đó suy ra A, H, A’ thẳng hàng và A’ là trung điểm của BC.

Do đó, AA’² = AB² – BA’² = 25a² – 9a² = 16a²

Vậy AA’ = 4a

Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của nó.

Khi đó ({S_{ABC}} = {1 over 2}6a.4a = 12{a^2} = pr = 8ar)

Từ đó suy ra  (r = {3 over 2}a)

Do đó (SH = HA’. an {60^0} = {{3a} over 2}sqrt 3  = {{3sqrt 3 } over 2}a)

Thể tích khối chóp là (V = {1 over 3}.12{a^2}.{{3sqrt 3 } over 2}a = 6sqrt 3 {a^3}).