Câu 28 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

28. Trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng với điểm P lần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

Giải

Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI. Gọi ({P_A},,{P_B},,{P_C}) là các điểm đối xứng với P lần lượt qua các đường thẳng BC, CA, AB. Ta chứng minh rằng AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng ({P_B}{P_{C}}). Thật vậy, nếu ta kí kiệu (widehat {PAB} = alpha ,,widehat {PAI} = eta ), ta có:

(widehat {{P_C}AA'} = widehat {{P_C}AP} + widehat {PAA'} = 2alpha  + 2eta )

Và

(eqalign{
& widehat {A'A{P_B}} = widehat {A'AC} + widehat {CA{P_B}} cr
& = widehat {A'AC} + widehat {CAP} = alpha + alpha + 2eta cr
& = 2alpha + 2eta . cr} )

Vậy (widehat {{P_C}AA'} = widehat {A'A{P_B}})

Ngoài ra, hiển nhiên (A{P_C} = A{P_B}.) Suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng ({P_B}{P_C}.) Chứng minh tương tự, ta cũng có BB’ là đường trung trực của đoạn thẳng ({P_C}{P_A}) và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng ({P_C}{P_A}) và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng ({P_A}{P_B}.) Suy ra AA’, BB’, CC’ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ({P_A}{P_B}{P_C}.) Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự.

zaidap.com