Câu 25 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).

25. Trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho elip (E) với hai tiêu điểm ({F_1}) và ({F_2}) . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng ({F_1}{F_2}) và m là phân giác  ngoài tại đỉnh M của tam giác (M{F_1}{F_2}). 

Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M).

Giải

Giả sử elip (E) có trục lớn là 2a, tức là điểm M nằm trên (E) khi và chỉ khi:

(M{F_1} + M{F_2} = 2a)

Theo chứng minh bài tập 24, nếu M’ nằm trên phân giác m thì:

(M'{F_1} + M'{F_2} ge M{F_1} + M{F_2} = 2a.)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (E). Từ đó, suy ra m cắt (E) tại điểm duy nhất M.

zaidap.com