Câu 26 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (H) tại điểm M).

26. Trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho hypebol (H) với hai tiêu điểm ({F_1}) và ({F_2}). Gọi M là một điểm nằm trên (H) nhưng không nằm trên đường thẳng ({F_1}{F_2}) và m là phân giác trong tại đỉnh M của tam giác (M{F_1}{F_2}). 

Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi  là tiếp tuyến của (H) tại điểm M).

Giải

Giả sử hypebol (H) có trục thức là 2a, nghĩa là điểm M nằm trên (H) khi và chỉ khi:

(left| {M{F_1} - M{F_2}} ight| = 2a)

Ta xét trường hợp (M{F_1} - M{F_2} = 2a) (trường hợp (M{F_2} - M{F_1} = 2a) chứng minh tương tự). Gọi F’ là điểm đối xứng với (F_2) qua phân giác m thì F’ nằm giữa M và (F_1). Khi đó, nếu lấy M’ nằm trên m thì:

(eqalign{
M'{F_1} - M'{F_2} &= M'{F_1} - M'F' cr&le {F_1}F' = M{F_1} - MF' cr
&  = M{F_1} - M{F_2} cr
&= 2a cr} )

Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (H). Từ đó suy ra m cắt (H) tại điểm duy nhất M.

zaidap.com