Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

5. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.Tính thể tích của khối tròn xoay.

Bài 5. Cho tam giác vuông (OPM) có cạnh (OP) nằm trên trục (Ox). Đặt  (widehat {POM} = alpha )

và (OM = R), (left( {0 le alpha  le {pi  over 3},R > 0} ight))

Gọi   là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh (Ox) (H.63).

a) Tính thể tích của  theo (α) và (R).      

b) Tìm (α) sao cho thể tích  là lớn nhất.  

  

Hướng dẫn giải :

a) Hoành độ điểm (P) là : 

(x_p=  OP = OM. cos α = R.cosα)

Phương trình đường thẳng (OM) là (y =  tanα.x). Thể tích (V) của khối tròn xoay là:

(V = pi intlimits_0^{Rcos alpha } {{{ an }^2}alpha {{{x^3}} over 3}left| {_0^{Rcos alpha } = {{pi .{R^3}} over 3}(cos alpha  - {{cos }^3}} ight.} alpha ))

b) Đặt (t = cosα Rightarrow t ∈ left[ {{1 over 2};1} ight]). (left( ext{ vì }{alpha  in left[ {0;{pi  over 3}} ight]} ight)),  (α = arccos t).

Ta có :

(eqalign{
& V = {{pi {R^3}} over 3}(t - {t^3});V' = {{pi {R^3}} over 3}(1 - 3{t^2}) cr
& V' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = {{sqrt 3 } over 3} hfill cr
t = {{ - sqrt 3 } over 3} ext{ (loại)} hfill cr} ight. cr} )

 Từ đó suy ra (V) lớn nhất bằng ({{2sqrt 3 pi R^3} over 27}) (Leftrightarrow t = {{sqrt 3 } over 3} Leftrightarrow alpha  = arccos {{sqrt 3 } over 3})

soanbailop6.com