Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao , Chứng minh rằng:...

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm ({F_1}left( { – sqrt 2 ; – sqrt 2 } ight);,{F_2}left( {sqrt 2 ;sqrt 2 } ight).)  Chứng minh rằng với mỗi điểm M(x, y) nằm trên đồ thị hàm số (y = {1 over x},) ta đều có 

(M{F_1}^2 = {left( {x + {1 over x} + sqrt 2 } ight)^2};M{F_2}^2 = {left( {x + {1 over x} – sqrt 2 } ight)^2}.)

Từ đó suy ra (|M{F_1} – M{F_2}| = 2sqrt 2 .)

Giải

Giả sử: (Mleft( {x;y} ight) in left( H ight):,y = {1 over x}) ta có:

(eqalign{
& M{F_1^2} = {left( {x + sqrt 2 } ight)^2} + {left( {{1 over x} + sqrt 2 } ight)^2} cr&,,,,,,,,,,,, = {x^2} + 2sqrt 2 .x + 2 + {1 over {{x^2}}} + 2sqrt 2 .{1 over x} + 2 cr
& ,,,,,,,,,,,, = left( {{x^2} + {1 over {{x^2}}} + 2} ight) + 2sqrt 2 left( {x + {1 over x}} ight) + 2 cr
& ,,,,,,,,,,,, = {left( {{x^2} + {1 over x}} ight)^2} + 2left( {x + {1 over x}} ight).sqrt 2 + {left( {sqrt 2 } ight)^2} cr
& ,,,,,,,,,,,, = {left( {x + {1 over x} + sqrt 2 } ight)^2} cr
& M{F_2}^2 = {left( {x – sqrt 2 } ight)^2} + {left( {{1 over x} – sqrt 2 } ight)^2} cr&,,,,,,,,,,,, ;= {left( {x + {1 over x}} ight)^2} – 2sqrt 2 left( {x + {1 over x}} ight) + 2 cr
& ,,,,,,,,,,,,, = {left( {x + {1 over x} – sqrt 2 } ight)^2} cr} ) 

Từ đó suy ra:

+) Với x > 0 thì (x + {1 over x} ge 2) (theo bất đẳng thức cô si)

Khi đó: (M{F_1} = x + {1 over x} + sqrt 2 ;M{F_2} = x + {1 over x} – sqrt 2 )

(Rightarrow M{F_1} – M{F_2} = 2sqrt 2 .)

+) Với x < 0 thì (left| {x + {1 over x}} ight| = |x| + {1 over {|x|}} ge 2 Rightarrow x + {1 over x} le  – 2)

Khi đó: (M{F_1} =  – x – {1 over x} – sqrt 2 ;M{F_2} =  – x – {1 over x} + sqrt 2)

(  Rightarrow M{F_1} – M{F_2} =  – 2sqrt 2 )

Vậy (|M{F_1} – M{F_2}| = 2sqrt 2 .)