Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao , Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của ...

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Giải

Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: ({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1)

Phương trình tiệm cận của (H) là: ({d_1}:y = {b over a}x Leftrightarrow bx – ay = 0)

({d_2}:y =  – {b over a}x Leftrightarrow bx + ay = 0)                                                     

Gọi (Mleft( {{x_0};{y_0}} ight) in (H)) ta có: ({{x_0^2} over {{a^2}}} – {{y_0^2} over {{b^2}}} = 1 Leftrightarrow {b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2})

Ta có: (dleft( {M,{d_1}} ight).dleft( {M,{d_2}} ight) = {{|b{x_0} – a{y_0}|} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} )

(= {{|{b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2|} over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}{b^2}} over {{a^2} + {b^2}}}) không đổi