Bài 25 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao, Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm...

a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm

b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1, 1); (1, 4) và tiếp xúc với trục Ox.

Giải

a) Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên đường tròn cần tìm (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.

(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).

Do đó (C) có phương trình là: ({left( {x – a} ight)^2} + {left( {y – a} ight)^2} = {a^2})

Vì (M(2;1)in(C)) nên 

(eqalign{
& {left( {2 – a} ight)^2} + {left( {1 – a} ight)^2} = {a^2} Leftrightarrow {a^2} – 6a + 5 = 0,,(C) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
a = 1 hfill cr
a = 5 hfill cr} ight. cr} )

+) Với (a =1) ta có (C): ({left( {x – 1} ight)^2} + {left( {y – 1} ight)^2} = 1.)

+) Với (a=5) ta có ((C):{left( {x – 5} ight)^2} + {left( {y – 5} ight)^2} = 25.)

b) Phương trình đường thẳng Ox: (y = 0).

Giả sử: (I (a; b)) là tâm của đường tròn cần tìm.

Ta có: (R = dleft( {I;{ m{Ox}}} ight) = |b|)

Phương trình đường tròn có dạng

((C):{left( {x – a} ight)^2} + {left( {y – b} ight)^2} = {b^2})

Vì (left( {1;1} ight) in (C)) và (left( {1;4} ight) in (C))  nên ta có hệ: 

(left{ matrix{
{left( {1 – a} ight)^2} + {left( {1 – b} ight)^2} = {b^2},,,(,1,) hfill cr
{left( {1 – a} ight)^2} + {left( {4 – b} ight)^2} = {b^2},,,(2) hfill cr} ight.)

Từ hệ trên ta suy ra: ({left( {1 – b} ight)^2} = {left( {4 – b} ight)^2})(Leftrightarrow b = {5 over 2}.)

Thay (b = {5 over 2}) vào (1) ta được: (a = 3, a = -1)

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán

({left( {x – 3} ight)^2} + {left( {y – {5 over 3}} ight)^2} = {{25} over 4};)

({left( {x + 1} ight)^2} + {left( {y – {5 over 2}} ight)^2} = {{25} over 4}.)