Bài 4 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng un > 0 với mọi n.

Cho dãy số (left( {{u_n}} ight)) xác định bởi

(left{ matrix{
{u_1} = 1 hfill cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} over {{u_n} + 2}},,{ m{ với }},,n ge 1 hfill cr} ight.)

a)      Chứng minh rằng ({u_n} > 0) với mọi n.

b)      Biết (left( {{u_n}} ight)) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.

Giải:

a)      Chứng minh bằng quy nạp: ({u_n} > 0) với mọi n.     (1)

-          Với n = 1 ta có ({u_1} = 1 > 0)

-          Giả sử  (1) đúng với (n = k ge 1) nghĩa là ({u_k} > 0) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có ({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} over {{u_k} + 2}}). Vì ({u_k} > 0) nên ({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} over {{u_k} + 2}} > 0)

-          Kết luận: ({u_n} > 0) với mọi n.

b)      Đặt

(eqalign{
& lim {u_n} = a cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} over {{u_n} + 2}} cr
& Rightarrow lim {u_{n + 1}} = lim {{2{u_n} + 3} over {{u_n} + 2}} cr
& Rightarrow a = {{2a + 3} over {a + 2}} Rightarrow a = pm sqrt 3 cr})

Vì ({u_n} > 0) với mọi n, nên (lim {u_n} = a ge 0). Từ đó suy ra (lim {u_n} = sqrt 3 )