Câu 35 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với n là số tự nhiên, chứng minh

Với n là số tự nhiên, chứng minh:

({(sqrt {n + 1}  - sqrt n )^2} = sqrt {{{(2n + 1)}^2}}  - sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} )

Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4.

Gợi ý làm bài

Ta có: 

(eqalign{
& {left( {sqrt {n + 1} - sqrt n } ight)^2} cr
& = n + 1 - 2sqrt {n(n + 1)} + n cr
& = 2n + 1 - 2sqrt {n(n + 1)} cr} )

(eqalign{
& = sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} cr
& = left| {2n + 1} ight| - sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} cr} )

(eqalign{
& = 2n + 1 - sqrt {2(n + 1)2n} cr
& = 2n + 1 - sqrt {4(n + 1)n} cr} )

(eqalign{
& = 2n + 1 - sqrt 4 .sqrt {n(n + 1)} cr
& = 2n + 1 - 2sqrt {n(n + 1)} cr} )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

- Với n = 1, ta có:  ({left( {sqrt 2  - sqrt 1 } ight)^2} = sqrt 9  - sqrt 8 )

- Với n = 2, ta có: ({left( {sqrt 3  - sqrt 2 } ight)^2} = sqrt {25}  - sqrt {24} )

- Với n = 3, ta có: ({left( {sqrt 4  - sqrt 3 } ight)^2} = sqrt {49}  - sqrt {48} )

- Với n = 4, ta có: ({left( {sqrt 5  - sqrt 4 } ight)^2} = sqrt {81}  - sqrt {80} )

Sachbaitap.net