Bài 35 trang 103 SGK Hình học 10 nâng cao , Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho (MB = 2MA.)

Giải

Giả sử: (Aleft( {{x_0};0} ight);Bleft( {0;{y_0}} ight))

(AB = a Leftrightarrow sqrt {x_0^2 + y_0^2}  = a Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 = {a^2})

M thuộc đoạn AB và (MB = 2MA) nên (overrightarrow {AM}  = {1 over 3}overrightarrow {AB} )

Giả sử: M(x, y) , khi đó: (overrightarrow {AM}  = left( {x – {x_0};y} ight),overrightarrow {AB}  = left( { – {x_0};{y_0}} ight);)

(3overrightarrow {AM}  = overrightarrow {AB} .) 

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ matrix{
3left( {x – {x_0}} ight) = – {x_0} hfill cr
3y = {y_0} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_0} = {3 over 2}x hfill cr
{y_0} = 3y hfill cr} ight. cr
& x_0^2 + y_0^2 = {a^2} Leftrightarrow {9 over 4}{x^2} + 9{y^2} = {a^2} cr&Leftrightarrow {{{x^2}} over {{{left( {{{2a} over 3}} ight)}^2}}} + {{{y^2}} over {{{left( {{a over 3}} ight)}^2}}} = 1 cr} )

Vậy tập hợp điểm M là elip có phương trình là: 

({{{x^2}} over {{{left( {{{2a} over 3}} ight)}^2}}} + {{{y^2}} over {{{left( {{a over 3}} ight)}^2}}} = 1.)