24/05/2018, 17:16

vài trương hợp đăc biêt

đáp ứng đối với hàm nấc xét một mạch không chứa năng lượng ban đầu, kích thích bởi một nguồn là hàm nấc đơn vị. đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng trong thực tế. mạch (h 4.13), trong đó v g =u(t) ...

đáp ứng đối với hàm nấc

xét một mạch không chứa năng lượng ban đầu, kích thích bởi một nguồn là hàm nấc đơn vị. đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng trong thực tế.

mạch (h 4.13), trong đó v_g=u(t)

(h 4.13)

áp dụng kcl cho mạch

hay

* khi t < 0, u(t)=0, phương trình trở thành:

và có nghiệm là: v(t)=ae^-t/rc

điều kiện đầu

* khi t > 0 , u(t) = 1, pt thành:

v(t) = v_n+v_f

v_f được xác định từ mạch ở trạng thái thường trực: v_f = v_g=u(t) = 1 v

v(t)=ae^-t/rc + 1

với

v(t)=1- e^-t/rc

tóm lại

hay v(t)=(1- e^-t/rc)u(t) (v)

thí dụ 4.5

mạch (h 4.14). xác định v_o(t)

(h 4.14)

viết kcl ở ngã vào đảo của opamp:

hay

lấy tích phân từ pt 0₊ đến t

ta thấy v_o(t) tỉ lệ với tích phân của v_i(t), nếu v_o(0+)=0.

mạch này có tên là mạch tích phân.

xét trường hợp v_i(t) = vu(t)

tụ điện không tích điện ban đầu nên v_o(0+) = 0

và đây chính là hàm dốc với độ dốc -v/rc. giản đồ v_o(t) được vẽ ở (h 4.15)

(h 4.15)

thí dụ 4.6

xác định v(t) trong mạch (h 4.16a). với nguồn kích thích i_g(t) có dạng sóng như (h 4.16b)

(a) (b)

(h 4.16)

mạch không tích trữ năng lượng ban đầu nên i(0-)=0; ở t=0 nguồn dòng điện 10a áp vào mạch, cho đến lúc t=1 s thì nguồn này bị ngắt (giống như mở khóa k)

tóm lại, ta có thể hình dung mạch hoạt động như sau:

* 0<t<1, mạch có nguồn ngoài i=10a và không tích trữ năng lượng ban đầu.

* t > 1, mạch không có nguồn ngoài và cuộn dây đã tích trữ năng lượng ứng với dòng i(1-)

lời giải của bài toán gồm 2 phần:

* khi 0<t<1, tìm đáp ứng đối với hàm nấc 10 a

v(t) = v_n +v_f

v_n = ae^-(rtđ/l)t=ae^-5t/5 = ae^-t

(nối tắt cuộn dây, dùng đl ohm và cầu phân thế)

v(t) = ae^-t +12

i(t) là dòng điện qua điện trở 2ôm cũng là dòng điện qua cuộn dây, dòng điện này không thay đổi tức thời nên hiệu thế qua điện trở 2ôm cũng không thay đổi tức thời

i(0+) =i(0-) =0 nên v(0+) =v(0-) =0

suy ra a = -12

tóm lại

v(t) = 0 khi t < 0

v(t) = 12(1-e^-t ) khi 0 <t <1

* khi t > 1, mạch không chứa nguồn nhưng có tích trữ năng lượng ban đầu, ta tìm đáp ứng tự nhiên của mạch:

v(t) = be^-(t-1)

t=1-, v(1-) = 12(1-e^-1 )

t=1+, v(1+) = b

do tính liên tục: v(1+) = v(1-) ⇒ b = 12(1-e^-1 )

và lời giải cuối cùng:

v(t) = 12(1-e^-1 )e^-(t-1) khi t>1

lời giải cho mọi t:

v(t) = 12(1-e^-t )[u(t)-u(t-1)] + 12(1-e^-1 )e^-(t-1)u(t-1).

giản đồ v(t) cho ở (h 4.17)

(h 14.7)

ap dụng định lý chồng chất

với các mạch có chứa 2 hay nhiều nguồn độc lập, chúng ta có thể dùng định lý chồng chất để giải

trở lại thí dụ 4.6.

nguồn dòng i_g trong mạch có thể viết lại:

i_g = 10u(t) - 10u(t-1)

nguồn này có thể xem như gồm 2 nguồn mắc song song i₁ và i₂

i_g = i₁ + i₂ với i₁ = 10 u(t) và i₂ = -10u(t-1) (h 4.18)

(h 4.18)

gọi v₁ và v₂ lần lượt là các đáp ứng đối với từng nguồn i₁ và i₂

trong phần trước ta đã xác định được:

v₁(t) = 12(1-e^-t )u(t)

dòng i₂ có dạng đảo của i₁ và trễ 1s.vậy v₂(t) có được bằng cách nhân v₁(t) với -1 và thay t bởi (t-1):

v₂(t) = -12(1-e^-(t-1) )u(t-1)

và kết quả cuối cùng:

v(t) = v₁(t) + v₂(t) = 12(1-e^-t )u(t) -12(1-e^-(t-1) )u(t-1)

kết quả này có vẻ như khác với kết quả trước. tuy nhiên sinh viên có thể chứng minh hai kết quả chỉ là một.

thí dụ 4.7

mạch (h 4.19). xác định hiệu thế v(t) ở 2 đầu tụ khi t>0. biết rằng tụ đã nạp điện ban đầu với hiệu thế v₀

(h 4.19)

áp dụng kvl cho mắt lưới bên trái:

nhân 2 vế phương trình cho hằng số k

biểu thức cho thấy đáp ứng dòng điện i trở thành ki khi các nguồn độc lập (v₁& i₁) và hiệu thế ban đầu của tụ (v₀) nhân với k. kết quả này có thể mở rộng cho mạch tuyến tính chứa một hoặc nhiều tụ điện (hay cuộn dây). hiệu thế ban đầu của tụ (hay dòng điện ban đầu của cuộn dây) cũng được xem như một nguồn độc lập.

áp dụng định lý chồng chất, ta xác định v là tổng của v₁, v₂ và v₃ lần lượt là đáp ứng riêng rẽ của v₁, i₁ và v₀. các mạch điện tương ứng là (h 4.20a), (h 4.20b) và (h 4.20c)