Tổng quan môn học toán rời rac 1

- Cách tốt nhất để lập lịch 8 cuộc họp hội đồng các thành viên mà không có bất

kỳ sự cạnh tranh nào, giả thiết đưa ra là 1 vài người có tên trong hơn 1 hội đồng.

- Làm thế nào chúng ta có thể lập lịch tất cả các nhiệm vụ trong dự án lớn này (giống như 1 dự án xây dựng hoặc dự án để bắt đầu đưa 1 sản phẩm mới ra thị trường).

- Sẽ có đủ số điện thoại để cung cấp tất cả điện thoại, máy fax, và điện thoại di động trong cho Việt Nam?

- Làm thể nào chúng ta có thể mô hình và phân tích 1 sự thay đổi dân số, hoặc thay đổi lượng tiền trong một dự án đầu tư

Modul sẽ học những cấu trúc rời rạc và các kỹ thuật để giải quyết những vấn đề

này.

Vậy một câu hỏi đặt ra là : Toánrờirạcđược dùngkhi nào?Thực tế Toán học rời rạc được dùng rất đa dạng trong nhiều chuyên ngành, lĩnh vực. Tuy nhiên, có thể thấy phần lớn nó được dùng khi liên quan tới:

- Đếm các đối tượng

- Xem xét quan hệ giữa những tập hữu hạn (hoặc đếm được)

- Phân tích quá trình có số bước hữu hạn.

- Cơ bản về tất cả những xử lý thông tin số: Những thao tác trên các cấu trúc

rời rạc trong bộ nhớ.

- Nó là ngôn ngữ cơ bản và là khái niệm nền tảng cho tất cả các lĩnh vực

trong khoa học máy tính.

- Các khái niệm rời rạc cũng được sử dụng rộng rãi trong toán học, kỹ thuật,

kinh tế, sinh học,…

Đặc biệt toán học rời rạc là một công cụ tuyệt vời để suy luận logic.

T ẠI S A O L ẠI H Ọ C TOÁN R Ờ I R ẠC

Có một số lý do quan trọng để nghiên cứu Toán học rời rạc.

Thứ nhất, thông qua modul này, người học có thể phát triển khả năng toán học, đó là khả năng hiểu và tạo ra các chủ đề của toán học. Người học sẽ vô cùng khó khăn để tiến xa trong ngành tin học mà không có những kiến thức toán học này.

Thứ hai, Toán học rời rạc cung cấp cơ sở toán học để mở ra cánh cửa cho người học có thể tiếp tục với những modul cao hơn cho các khóa học của khoa học máy tính, bao gồm: cấu trúc dữ liệu, thuật toán, lý thuyết cơ sở dữ liệu, lý thuyết automat, ngôn ngữ hình thức, trình biên dịch, bảo mật máy tính, thiết kế mạch máy tính, mạng máy tính và hệ điều hành, …sinh viên có thể nhận thấy những khóa học trên vô cùng khó khăn nếu không có một cơ sở toán học của modul Toán học rời rạc này.

Toán học rời rạc là toán tính toán

Khoa học máy tính hiện đại được xây dựng hầu hết dựa trên Toán học rời rạc, đặc biệt là toán tập hợp và lý thuyết đồ thị. Điều này có nghĩa là: các nhà lập trình máy tính và sinh viên muốn học các thuật toán cơ bản thì sẽ phải cần một nền tảng Toán học rời rạc chắc chắn. Bởi vậy, tại hầu hết các trường đại học, môn Toán học rời rạc là bắt buộc với sinh viên bậc đại học.

Toán học rời rạc là toán thế giới thực

Nhiều sinh viên than phiền về tính truyền thống của toán cấp 3 như: đại số, đồ thị, lượng giác, và phần tương tự như vậy- câu hỏi đặt ra là: “học toán cấp 3 với nội dung truyền thống như vậy tốt ở điểm nào?” Một vài chủ đề trừu tượng của toán học thường làm sinh viên sợ và không vượt qua được. Ngược lại, Toán học rời rạc , đặc biệt là toán đếm và xác suất, cho phép sinh viên ( kể cả h/s đang học cấp 3

– nhanh chóng tìm ra vấn đề quan trọng trong thế giới thực những vấn đề khó nhưng lại rất thú vị).

Toán học rời rạc dạy suy luận toán học và các kỹ thuật chứng minh

Đại số thường dạy sinh viên nhớ chuỗi các công thức và thuật toán (ví dụ, công thức quadratic, các hệ thống phương trình tuyến tính..), và hình học thường được dạy như là 1 chuỗi các bài tập áp dụng “định nghĩa – định lý – chứng minh”.

Còn với Toán học rời rạc , sinh viên sẽ suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo. Có các mối quan hệ giữa 1 vài công thức. Có 1 số khái niệm cơ bản để làm chủ và ứng dụng Toán học rời rạc trong nhiều cách khác nhau.

Toán học rời rạc rất vui

Nhiều sinh viên, đặc biêt là những sinh viên sáng dạ và năng động tìm ra rằng đại số, hình học và thậm chí cả tích phân không gây thích thú. Hiếm khi những chủ đề này gây thích thú như những chủ đề Toán học rời rạc . Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề mà họ thích, hầu hết đều nhận được trả lời là toán tập hợp hoặc lý thuyết số. (Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề mà ít gây thích thú với họ nhất, phần đa trả lời là “hình học”). Và thật đơn giản hầu hết sinh viên đều nhận ra rằng Toán học rời rạc nhiều niềm vui hơn đại số và hình học.

T O Á N H Ọ C R Ờ I R Ạ C N GH I Ê N C Ứ U N H Ữ N G GÌ ?

Toánhọcrờirạc là tên chung của nhiều ngành toánhọc có đối tượng nghiên cứu là các tậphợprờirạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoahọcmáytính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán họcdànhchomáytính.

Có thể nói toán học rời rạc ngày càng có tầm quan trọng trong nhiều ngành khoa học máy tính cũng như trong công việc lập trình. Có nhiều khái niệm của toán học được nghiên cứu trong Toán học rời rạc. Chúng ta có thể nhắc tới một số chủ đề trong Toán học rời rạc sau đây khi chúng đã được áp dụng rất nhiều trong khoa học máy tính:

Algorithmics– Thuậttoán, còn gọi là giảithuật, là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán.

Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Thuật toán đôi khi còn được gọi là phương thức, thủ tục, hay kỹ thuật.

Trong ngành khoahọcmáytính, thì thuật toán là được thể hiện thông qua một chươngtrìnhmáytính (hay một tập hợp các chương trình máy tính) được thiết kế để giải quyết một số loại vấn đề một cách có hệ thống. Một thí dụ kinh điển trong ngành khoa học máy tính là thuật toán đệquy dùng để giải bàitoánthápHàNộiBooleanAlgebra– cách tính toán và biểu diễn các biểu thức trên hệ cơ số, nó cũng nghiên cứu các khái niệm điện tử học như cổng logic….

Combinatorics– Là một nhánh của toná học nghiên cứu tới liệt kê, tổ hợp, hoán vị

các tập phần tử, những tính chất và những quan hệ của chúng.

ComputabilityandComplexityTheories– Lý thuyết về độ phức tạp và khả năng tính toán - Liên quan tới combinatorics và algorithmics, nhưng nó tập trung vào những giới hạn về thực hành cũng như lý thuyết trong các mô hình tính toán khác nhauđể giải quyết bài toán. Lý thuyết về độ phức tạp và khả năng tính toán. Trong khoa học máy tinh, nó thường dùng ký hiệu O (Big-O).

Counting– Liên quan tới các khái niệm và kỹ thuật đếm, liệt kê và tính toán trong các hệ số khác nhau.

GraphTheory– Lý thuyết đồ thị - Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website, tồn tại một cạnh có hướng nối từ trang Atới trang B khivàchỉkhiAcó chứa 1 liên kết tới B. Do vậy, sự phát triển của các thuậttoán xử lý đồ thị là một trong các mối quan tâm chính của khoahọcmáytính

InformationTheory– Lý thuyết thông tin – Áp dụng toán học vào truyền thông, nó dựa phần lớn vào xác suất và thông kê để nghiên cứu những lĩnh vực như phân tích dữ liệu, mạng, truyền thông, tính toán lượng tử …

Logic– Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triếthọc. Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toánhọc và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoahọcmáytính và trítuệnhântạo. Là một ngànhkhoahọchìnhthức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệthốnghìnhthức của việcsuyluận và qua sự nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên.

MathematicalRelations– Quan hệ - liên quan tới lý thuyết tập, các quan hệ là việc

gán một giá trị cho một tổ hợp của k-phần tử.

NumberTheory– Là một nhánh lớn của toán học nghiên cứu những tính chất của

số nguyên.

Proofs– chứng minh – Dùng lập luận logic toán học để chứng minh một biểu thức là đúng, sai.

Functions- Hàm - Trong toánhọc, khái niệm hàmsố(hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánhxạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một quitắc tuơng ứng áp dụng lên hai tậphợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉmộtphần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều là tậphợpsố

SetTheory– Nghiên cứu tập các phần tử. Mặc dù bất ký một kiểu đối tượng nào cũng có thể tập hợp lại thành tập nhưng lý thuyết tập thường áp dụng cho các đối tượng trong toán học.

Linearalgebra- Đại số tuyến tính - được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đạisốđạicương, giảitíchhàm, hìnhhọcgiảitích... để giải các bài toán như phépquay trong khônggian, nộisuybìnhphươngnhỏnhất, nghiệm của hệ phươngtrìnhviphân, tìm đườngtròn qua ba điểm... Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoahọctựnhiên (vậtlý, côngnghệ...) và khoahọcxãhội (kinhtế...), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính.

Như chúng ta đã thảo luận phần trước, các cấu trúc toán học có thể được xây dựng hay chỉ ra thông qua các cấu trúc đơn giản hơn. Chính biểu đồ trên phác thảo một vài cách mà các cấu trúc rời rạc (và liên tục) đa dạng cuối cùng cũng được tạo nên từ cấu trúc rời rạc rất đơn giản là tập (set), cấu trúc này chúng ta sẽ sớm tiếp cận. Biểu đồ cũng cho chúng ta thấy được phần nào quan hệ của các đối tượng toán học. Tuy nhiên, biểu đồ đã được đơn giản hóa đi rất nhiều, nhiều cấu trúc khác cũng như các cách định nghĩa các cấu trúc thông chúng đã được lược bỏ. Ví dụ, các tập có thể được định nghĩa thông qua các hàm, hoặc các quan hệ. Không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Các tập chỉ có thể là điểm bắt đầu nhưng chúng phổ cập được bởi vì định nghĩa của chúng quá đơn giản. Trong modul này, chúng ta sẽ xem xét biểu đồ chi tiết để thấy được các cấu trúc này liên hệ với nhau như thế nào.

H Ọ C TOÁN R Ờ I R ẠC N H Ư T H Ế N ÀO?

Một số lời khuyên cho người học để có thể đạt hiệu quả cho modul này như sau:

Thứ nhất, sinh viên hãy coi bài tập như một phần quan trọng trong quá trình học. Người học sẽ học được phần lớn kiến thức thông qua bài tập, do vậy sinh viên hãy làm càng nhiều bài tập càng tốt, bao gồm cả bài tập cuối mỗi phần và các bài tập giảng viên cung cấp. Sinh viên hãy cố gắng tự giải bài tập trước khi xem lời giải. Đây là một yêu cầu rất quan trọng với sinh viên, người học chỉ có thể đạt được nhiều kiến thức nhất khi trải qua quá trình tự làm, tự học.

Thứ hai, sinh viên không được bỏ một buổi học nào, thời gian học trên lớp là quá trình trao đổi rất tốt giữa giảng viên và sinh viên.

Thứ ba, nếu học viên học ít hơn 3 ngày trong tuần trong quá trình học modul này thì học viên đang lãng phí thời gian của mình, do vậy tốt nhất cho học viên là học tập thường xuyên.

Thứ tư, hãy tạo cho mình môi trường học tập thoải mái: có thể đan xen giữa

việc giải toán, nghỉ ngơi và …giải toán.

Cuối cùng, không bao giờ quên bài giảng

Hãy nhớ là: cho dù là bạn có khả năng vượt qua các kỳ thi bằng cách học rất ít trước kỳ thi, nhưng với cách học như vậy thì kiến thức toán mà bạn học sẽ chỉ đi vào “bộ nhớ tạm thời” mà thôi. Kết quả cuối cùng là kiến thức toán của bạn sẽ ở mức độ mà không tồn tại lâu dài do cách học “sổi”, và chính thói quen học tập nghiên cứu như vậy của bạn sẽ làm hại chính bạn.

Bảng sau đây gồm một số ký hiệu thương dùng trong modul