Tổng quan dòng chảy ổn định không đều trong kênh
Làm thế nào biết được đường mực nước (đmn) sẽ thay đổi ra sao dọc theo dòng chảy trong kênh. Qua chương này, sẽ hình dung được và xác định chính xác đmn tăng hay giảm độ sâu dọc theo dòng chảy. Cơ sở tính toán theo năng lượng ...
Làm thế nào biết được đường mực nước (đmn) sẽ thay đổi ra sao dọc theo dòng chảy trong kênh. Qua chương này, sẽ hình dung được và xác định chính xác đmn tăng hay giảm độ sâu dọc theo dòng chảy.
Cơ sở tính toán theo năng lượng thay đổi dọc theo dòng chảy. Do đó để xét sự biến đổi mực nước chủ yếu là tính các phương trình vi phân.
Dòng chảy không đều
Xuất hiện dòng chảy không đều khi:
- Về mặt động lực học, khi lực cản và trọng lực không cân bằng nhau.
- Các đường dòng không song song nhau.
- Vận tốc trung bình tại hai mặt cắt kế tiếp nhau không bằng nhau.
Nguyên nhân làm cho dòng chảy không đều xảy ra khi:
- Kênh có độ dốc bằng không (i = 0) hoặc độ dốc nghịch (i < 0).
- Đối với kênh có độ dốc thuận (i > 0), có nhiều nguyên nhân, trong thực tế thường gặp nhất là:
- Có chướng ngại trên lòng dẫn, ví dụ như đập tràn (Hình 2-1), bậc nước.
- Sự thay đổi độ dốc kênh dọc theo dòng chảy.
- Kích thước và hình dạng mặt cắt thay đổi dọc theo dòng chảy.
Nghiên cứu dòng chảy không đều hay còn gọi là đường mặt nước không đều, quan trọng nhất là cần biết quy luật thay đổi của chiều sâu mực nước dọc theo dòng chảy.
h=f(l)
Có 2 dạng chuyển động không đều: Dòng chảy không đều thay đổi dần và dòng chảy không đều thay đổi gấp.
Kênh lăng trụ và phi lăng trụ
Lòng dẫn được chia ra làm 2 loại:
- Kênh lăng trụ có hình dạng, kích thước của mặt cắt ướt không thay đổi dọc theo lòng kênh:
A= f(h), trong đó: h = f(l).
nên: Ġ dAdl=∂A∂hdhdl size 12{ { { ital "dA"} over { ital "dl"} } = { { partial A} over { partial h} } { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} (2-1)
- Kênh phi lăng có hình dạng, kích thước của mặt cắt ướt thay đổi dọc theo lòng kênh:
A= f(h, l), trong đó: h = f(l).
nên: dAdl=∂A∂l+∂A∂hdhdl size 12{ { { ital "dA"} over { ital "dl"} } = { { partial A} over { partial l} } + { { partial A} over { partial h} } { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} (2-2)
Năng lượng đơn vị của dòng chảy tại mặt cắt bất kỳ , đối với trục chuẩn (0-0) là:
E = z+pγ+α.v22g size 12{z+ { {p} over {γ} } + { {α "." v rSup { size 8{2} } } over {2g} } } {} (2-3)
Tại một mặt cắt, bất kỳ điểm nào trên đó đều có năng lượng là như nhau. Xét hai điểm: 1 và A1. Tại mặt cắt (1-1), ta có:
E1 = z1+p1γ+α1.v122g=a1+h1+α1.v122g size 12{z rSub { size 8{1} } + { {p rSub { size 8{1} } } over {γ} } + { {α rSub { size 8{1} } "." v rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } } over {2g} } =a rSub { size 8{1} } +h rSub { size 8{1} } + { {α rSub { size 8{1} } "." v rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } } over {2g} } } {} (2-4)
Nếu dời mặt chuẩn (0-0) lên A1, năng lượng đơn vị của dòng chảy tại (1-1) sẽ là:
e1 = h1+α1.v122g size 12{h rSub { size 8{1} } + { {α rSub { size 8{1} } "." v rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } } over {2g} } } {} (2-5) Tương tự, tại mặt cắt (2 - 2), ta có:
E2 = z2+p2γ+α2.v222g=a2+h2+α2.v222g size 12{z rSub { size 8{2} } + { {p rSub { size 8{2} } } over {γ} } + { {α rSub { size 8{2} } "." v rSub { size 8{2} rSup { size 8{2} } } } over {2g} } =a rSub { size 8{2} } +h rSub { size 8{2} } + { {α rSub { size 8{2} } "." v rSub { size 8{2} rSup { size 8{2} } } } over {2g} } } {} (2-6)
và e1 = h1+α1.v122g size 12{h rSub { size 8{1} } + { {α rSub { size 8{1} } "." v rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } } over {2g} } } {} (2-7)
Từ các công thức (2-5) và (2-7) ta có thể viết dưới dạng tổng quát như sau:
e = h+α.v22g size 12{h+ { {α "." v rSup { size 8{2} } } over {2g} } } {} (2-8)
Đại lượng ϶ gọi là năng lượng đơn vị của mặt cắt, được định nghĩa:
Hình 2-2
“Năng lượng đơn vị của mặt cắt là năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng của dòng chảy tại một mặt cắt nhất định tính đối với mặt chuẩn nằm ngang đi qua điểm thấp nhất của mặt cắt ấy”.
Ta có: v=QA size 12{v= { {Q} over {A} } } {} thay vào (2-8), ta được :
e=h+α.Q22gA2 size 12{e=h+ { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {2 ital "gA" rSup { size 8{2} } } } } {} (2-9)
Bây giờ ta xét xem e thay đổi như thế nào dọc theo dòng chảy, từ các công thức (2-3) đến (2-8), ta có thể rút ra:
e = E - a (2-10)
Ta lấy đạo hàm theo l, ta được:
dedl=dEdl−dadl size 12{ { { ital "de"} over { ital "dl"} } = { { ital "dE"} over { ital "dl"} } - { { ital "da"} over { ital "dl"} } } {} (2-11)
Ta lại có: dEdl=−J size 12{ { { ital "dE"} over { ital "dl"} } = - J} {} (2-12)
dadl=−i size 12{ { { ital "da"} over { ital "dl"} } = - i} {} (2-13)
Thay (2-12) và (2-13) vào (2-11), nên ta có:
dedl=i−J size 12{ { { ital "de"} over { ital "dl"} } =i - J} {} (2-14)
Từ công thức (2-14), ta thấy:
- e tăng theo dòng chảy khi i > J.
- e giảm theo dòng chảy khi i < J.
- e không đổi dọc theo dòng chảy khi i = J.
Ta biết rằng E luôn luôn giảm dọc theo dòng chảy, còn ở đây e thay đổi tùy thuộc vào quan hệ i và J. Nghĩa là e phụ thuộc vào sự tương quan giữa lực cản và trọng lực. Mặt khác phụ thuộc diện tích mặt cắt, hay ta có:
e= e(h, l); h = h(l)
Định nghĩa về độ sâu phân giới
Ta xét xem, tại một mặt cắt nhất định, ( sẽ thay đổi như thế nào theo h.
Do dòng chảy ổn định nên Q = const, còn diện tích mặt cắt là hàm số của h, nên (cũng là hàm số của h. Nên ta có thể viết:
e = h+ α2gQ2Ak2 size 12{ { {α} over {2g} } { {Q rSup { size 8{2} } } over {A rSub { size 8{k} } rSup { size 8{2} } } } } {}= f(h).
Nếu ta đặt: ethế = h (2-15)
và eđộng= α2gQ2Ak2 size 12{ { {α} over {2g} } { {Q rSup { size 8{2} } } over {A rSub { size 8{k} } rSup { size 8{2} } } } } {} (2-16)
Rõ ràng, ethế đồng biến với h, còn eđộng thì nghịch biến với h.
Vậy: e = ethế + eđộng (2-17)
Lúc h → 0 thì ethế → 0, còn eđộng→ ∞, do đó: e → ∞
Lúc h → ∞ thì ethế → ∞, còn eđộng→ 0, do đó: e → ∞
Như vậy trên đồ thị hàm số e sẽ có hai nhánh tiến đến vô cùng. Lúc h→ 0 đường e nhận đường ethế = h làm đường tiệm cận xiên. Lúc h → ∞ thì đường e nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang. Nên e sẽ nhận một gía trị cực trị nhỏ nhất, ứng với độ sâu nhất định gọi là độ sâu phân gíơi hk.
emin= hk + α2gQ2Ak2 size 12{ { {α} over {2g} } { {Q rSup { size 8{2} } } over {A rSub { size 8{k} } rSup { size 8{2} } } } } {}
trong đó: Ak diện tích ứng với độ hk
Vậy có thể định nghĩa độ sâu phân giới: “Với một lưu lượng đã cho và tại một mặt cắt xác định, độ sâu nào làm cho năng lượng đơn vị của mặt cắt ấy có trị số nhỏ nhất thì độ sâu đó là độ sâu phân giới“.
Ta thấy hk = f(Q, w); không phụ thuộc n và i
- Khi h > hk thì dedh size 12{ { { ital "de"} over { ital "dh"} } } {} > 0; e đồng biến với h, nên dòng chảy êm.
- Khi h < hk thì dedh size 12{ { { ital "de"} over { ital "dh"} } } {} < 0; e nghịch biến với h, nên dòng chảy xiết.
Cách xác định hk
Cách thứ 1: Căn cứ vào định nghĩa ta vẽ quan hệ e=f(h), ta dùng phương pháp thử dần theo công thức (2-9), tìm ra gía trị h sao cho emin , đó là hk cần tìm.
Cách thứ 2: Tìm công thức giải tích tính h k
Ta biết: khi h = hk thì emin; hay dedh size 12{ { { ital "de"} over { ital "dh"} } } {}= 0 khi h = hk
Lấy đạo hàm (2-9), ta được:
de dh = d dh h + α . Q 2 2 gA 2 = 1 − α . Q 2 gA 3 ∂ A ∂ . h size 12{ { { ital "de"} over { ital "dh"} } = { {d} over { ital "dh"} } left (h+ { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {2 ital "gA" rSup { size 8{2} } } } right )=1 - { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over { ital "gA" rSup { size 8{3} } } } { { partial A} over { partial "." h} } } {}
Lấy gần đúng ta lại có: ∂A∂h=B size 12{ { { partial A} over { partial h} } =B} {} (2-18)
Nên: dedh=1−α.Q2gA3B=0 size 12{ { { ital "de"} over { ital "dh"} } =1 - { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over { ital "gA" rSup { size 8{3} } } } B=0} {} (2-19)
Vậy : α.Q2g=Ak3Bk size 12{ { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {g} } = { {A rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } } over {B rSub { size 8{k} } } } } {} (2-20)
Cách tìm hk dạng tổng quát
Ta có: Q tính được gía trị của αQg size 12{ { {αQ} over {g} } } {}
- Giả định h tính A và B; suy ra A3B size 12{ { {A rSup { size 8{3} } } over {B} } } {}
- Theo công thức (2-20), ta so sánh αQg size 12{ { {αQ} over {g} } } {} và A3B size 12{ { {A rSup { size 8{3} } } over {B} } } {}. Khi hai giá trị bằng nhau thì h tương ứng chính là hk.
Để cho việc tính toán được nhanh và sau này có thể sử dụng, ta có thể lập thành bảng hoặc vẽ đồ thị quan hệ A3B size 12{ { {A rSup { size 8{3} } } over {B} } } {} và h.
Tính hk đối với mặt cắt hình chữ nhật
Ta có: Bk = b; Ak = bhk
Thay các gía trị trên vào (2-20), ta được:
αQ g = b 3 h k 3 b = b 2 h k 3 size 12{ { {αQ} over {g} } = { {b rSup { size 8{3} } h rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } } over {b} } =b rSup { size 8{2} } h rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } } {}
Nên: hk3=αgQb2 size 12{h rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } = { {α} over {g} } left ( { {Q} over {b} } right ) rSup { size 8{2} } } {}
Đặt : q=Qb size 12{q= { {Q} over {b} } } {} (2-21)
Ở đó :
q: gọi là lưu lượng đơn vị, m2/s
Vậy ta được: hk=α.q2g3 size 12{h rSub { size 8{k} } = nroot { size 8{3} } { { {α "." q rSup { size 8{2} } } over {g} } } } {} (2-22)
Tính hk đối với mặt cắt hình thang
Ta có: Bk = b +2mhk; Ak = (b + mhk)hk
Thay các gía trị trên vào (2-20), ta được:
α . Q 2 g = A k 3 B k = b + mh k 3 h k 3 b + 2 mh k = b 3 h k 3 1 + mh k b 3 b 1 + 2 mh k b size 12{ { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {g} } = { {A rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } } over {B rSub { size 8{k} } } } = { { left (b+ ital "mh" rSub { size 8{k} } right ) rSup { size 8{3} } h rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } } over {b+2 ital "mh" rSub { size 8{k} } } } = { {b rSup { size 8{3} } h rSub { size 8{k} } rSup { size 8{3} } left (1+ { { ital "mh" rSub { size 8{k} } } over {b} } right ) rSup { size 8{3} } } over {b left (1+2 { { ital "mh" rSub { size 8{k} } } over {b} } right )} } } {}
Đặt: σT=mhkb size 12{σ rSub { size 8{T} } = { { ital "mh" rSub { size 8{k} } } over {b} } } {}
và σN=mhkCNb size 12{σ rSub { size 8{N} } = { { ital "mh" rSub { size 8{ ital "kCN"} } } over {b} } } {}
Lập tỉ số hai công thức trên ta được :
σ T σ N = h k h kCN size 12{ { {σ rSub { size 8{T} } } over {σ rSub { size 8{N} } } } = { {h rSub { size 8{k} } } over {h rSub { size 8{ ital "kCN"} } } } } {}
công thức trên cũng có thể viết lại :
hk=σTσNhkCN size 12{h rSub { size 8{k} } = { {σ rSub { size 8{T} } } over {σ rSub { size 8{N} } } } h rSub { size 8{ ital "kCN"} } } {} (2-23)
Ở đó :
σT là hệ số đặc trưng hình dạng mặt cắt hình thang;
σN là hệ số đặc trưng hình dạng mặt cắt hình chữ nhật;
Giả sử mặt cắt chữ nhật có cùng chiều rộng b với hình thang và cùng lưu lượng, nên độ sâu phân giới mặt cắt chữ nhật tương ứng ta có thể viết:
hkCN3=αgQb2 size 12{h rSub { size 8{ ital "kCN"} } rSup { size 8{3} } = { {α} over {g} } left ( { {Q} over {b} } right ) rSup { size 8{2} } } {} (2-24)
Thay các gía trị trên vào biến đổi, ta được :
σN=σT1+σT1+2σT3 size 12{σ rSub { size 8{N} } = { {σ rSub { size 8{T} } left (1+σ rSub { size 8{T} } right )} over { nroot { size 8{3} } { left (1+2σ rSub { size 8{T} } right )} } } } {} (2-25)
Xác định độ sâu phân giới theo công thức (2-23), cần tính hkCN theo (2-24) và sTsN size 12{ { {s rSub { size 8{T} } } over {s rSub { size 8{N} } } } } {} theo (2-25). Tuy nhiên để tính được sTsN size 12{ { {s rSub { size 8{T} } } over {s rSub { size 8{N} } } } } {} theo (2-25) là bài toán đúng dần, từ (2-24) tính hkCN, rồi thay vào (*) ta tính σN sau đó mới dùng công thức (2-25) để tìm σT.
Để đơn giản Agơrôtskin dựa đề nghị công thức:
hk=1−σN3+0,105σN2hkCN size 12{h rSub { size 8{k} } = left (1 - { {σ rSub { size 8{N} } } over {3} } +0,"105"σ rSub { size 8{N} } rSup { size 8{2} } right )h rSub { size 8{ ital "kCN"} } } {} (2-29)
Mặt cắt hình tròn.
Từ các công thức (1-61) và (1-64) trong chương 1, tính diện tích và chiều rộng mặt thoáng về mặt cắt hình tròn chảy lưng ống, thay vào (2-20) rút gọn ta được :
α.Q2g.d5=kA3sinθ=hkθ size 12{ { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {g "." d rSup { size 8{5} } } } = { {k rSub { size 8{A} } rSup { size 8{3} } } over {"sin"θ} } =h rSub { size 8{k} } left (θ right )} {} (2-30)
Để xác định độ sâu phân giới hình tròn hk có 2 cách:
Cách thứ 1: Từ (2-30) dùng cách thử dần tìm θ hay a, cách này có thể lập trình hay dùng những phần mềm tính toán như Mathcad.
Cách thứ 2: Khi dùng máy tính tay, ta lập bảng tra theo công thức:
kA3sinθ=hkθ size 12{ { {k rSub { size 8{A} } rSup { size 8{3} } } over {"sin"θ} } =h rSub { size 8{k} } left (θ right )} {} (2-30a)
Có thể tham khảo bảng tra trong Phụ lục 1-3.
Khi tính toán, ta có lưu lượng Q và đường kính ống d, tính theo công thức hkθ=α.Q2g.d5 size 12{h rSub { size 8{k} } left (θ right )= { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {g "." d rSup { size 8{5} } } } } {} (2-30b)
Từ đó tra bảng tìm được a, sau đó tính độ sâu phân giới theo công thức:
hk=a.d (2-31)
