Tiêu chuẩn ổn định đại số

Điều kiện cần

Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.

Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:

Tiêu chuẩn ổn định Routh

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng

Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc:

- Bảng Routh có n+1 hàng.

- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn.

- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.

- Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i = 3) được tính theo công thức:

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.

Ví dụ : Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

Giải

Bảng Routh

Vì tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.

Ví dụ : Hãy xét tính ổn định của hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau

Hình 4.3: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 4.2

Giải. Phương trình đặc trưng của hệ thống là

Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.

Ví dụ : Cho hệ thống có sơ đồ khối như sau

Hình 4.4: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 4.3

Xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định.

Giải. Phương trình đặc tính

Điều kiện để hệ thống ổn định

Các trường hợp đặc biệt

- Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số e dương, nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.

Ví dụ : Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:

Giải

Bảng Routh

Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.

- Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0

- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là Ap(s).

- Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của . Sau đó quá trình tính toán tiếp tục.

Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A_p(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng.

Ví dụ 4.5. Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:

Xác định số nghiệm của phương trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trên trục ảo của mặt phẳng phức.

Giải

Đa thức phụ

Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng)

Kết luận

- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.

- Phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm trên trục ảo.

- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.

=> Hệ thống ở biên giới ổn định.

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng

Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc:

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n.

- Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an.

- Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.

- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.

Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương,

Ví dụ 4.6. Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là

Hỏi hệ thống có ổn định không?

Giải. Ma trận Hurwitz

Các định thức

Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định.