Thiết kế hệ thống điều khiển liên lục
Thiết kế là toàn bộ quá trình bổ sung các thiết bị phần cứng cũng như thuật toán phần mềm vào hệ cho trước để được hệ mới thỏa mãn yêu cầu về tính ổn định, độ chính xác, đáp ứng quá độ, … Có nhiều cách bổ sung bộ điều khiển vào hệ ...
Thiết kế là toàn bộ quá trình bổ sung các thiết bị phần cứng cũng như thuật toán phần mềm vào hệ cho trước để được hệ mới thỏa mãn yêu cầu về tính ổn định, độ chính xác, đáp ứng quá độ, … Có nhiều cách bổ sung bộ điều khiển vào hệ thống cho trước, trong khuôn khổ quyển sách này chúng ta chủ yếu xét hai cách sau:
Cách 1: thêm bộ điều khiển nối tiếp với hàm truyền của hệ hở, phương pháp này gọi là hiệu chỉnh nối tiếp (H.6.1). Bộ điều khiển được sử dụng có thể là bộ hiệu chỉnh sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha, P, PD, PI, PID,… Để thiết kế hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp chúng ta có thể sử dụng phương pháp QĐNS hay phương pháp biểu đồ Bode. Ngoài ra một phương pháp cũng thường được sử dụng là thiết kế theo đặc tính quá độ chuẩn.
Hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp
Cách 2: điều khiển hồi tiếp trạng thái, theo phương pháp này tất cả các trạng thái của hệ thống được phản hồi trở về ngõ vào và tín hiệu điều khiển có dạng 
(H.6.2). Tùy theo cách tính véctơ hồi tiếp trạng thái K mà ta có phương pháp điều khiển phân bố cực, điều khiển tối ưu LQR, ….
Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái
Quá trình thiết kế hệ thống là quá trình đòi hỏi tính sáng tạo do trong khi thiết kế thường có nhiều thông số phải chọn lựa.
Người thiết kế cần thiết phải hiểu được ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh đến chất lượng của hệ thống và bản chất của từng phương pháp thiết kế thì mới có thể thiết kế được hệ thống có chất lượng tốt. Do đó các phương pháp thiết kế trình bày trong bài này chỉ mang tính gợi ý, đó là những cách thường được sử dụng chứ không phải là phương pháp bắt buộc phải tuân theo.
Việc áp dụng một cách máy móc thường không đạt được kết quả mong muốn trong thực tế. Dù thiết kế theo phương pháp nào yêu cầu cuối cùng vẫn là thỏa mãn chất lượng mong muốn, cách thiết kế, cách chọn lựa thông số không quan trọng.
Trước khi xét đến các phương pháp thiết kế bộ điều khiển, chúng ta xét ảnh hưởng của các bộ điều khiển đến chất lượng của hệ thống.
Nguyên tắc thiết kế hệ thống dùng phương pháp hiệu chỉnh thông số hay còn gọi là QĐNS là dựa vào phương trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh:
(6.1)
(6.2)
Ta cần chọn thông số của bộ điều khiển GC(s) sao cho phương trình (6.1) có nghiệm tại vị trí mong muốn.
Hiệu chỉnh sớm pha
Để thuận lợi cho việc vẽ QĐNS chúng ta biểu diễn hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha dưới dạng sau :
(6.3)
Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, a và T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về chất lượng quá độ (độ vọt lố, thời gian xác lập, …)
Ta đã biết chất lượng quá độ của hệ thống hoàn toàn xác định bởi vị trí của cặp cực quyết định. Do đó nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp QĐNS là chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh sao cho QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh phải đi qua cặp cực quyết định mong muốn. Sau đó bằng cách chọn hệ số khuếch đại KC thích hợp ta sẽ chọn được cực của hệ thống chính là cặp cực mong muốn. Nguyên tắc trên được cụ thể hóa thành trình tự thiết kế sau:
Trình tự thiết kế
Khâu hiệu chỉnh: Sớm pha
Phương pháp thiết kế: QĐNS
Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất lượng của hệ thống trong quá trình quá độ:
Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định 
nằm trên QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:
(6.4)
trong đó pi và zi là các cực của hệ thống G(s) trước khi hiệu chỉnh.
Dạng hình học của công thức trên là:
(6.5)
Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh
Vẽ hai nửa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định s* sao cho hai nửa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng Φ*. Giao điểm của hai nửa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh.
Có hai cách vẽ thường dùng:
- PP đường phân giác (để cực và zero của khâu hiệu chỉnh gần nhau).
- PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống).
Bước 4: Tính hệ số khuếch đại KC bằng cách áp dụng công thức:
Giải thích
Bước 1: Do chất lượng quá độ phụ thuộc vào vị trí cặp cực quyết định nên để thiết kế hệ thống thỏa mãn chất lượng quá độ mong muốn ta phải xác định cặp cực quyết định tương ứng. Gọi cặp cực quyết định mong muốn là 
.
Bước 2: Để hệ thống có chất lượng quá độ như mong muốn thì cặp cực quyết định 
phải là nghiệm của phương trình đặc tính sau khi hiệu chỉnh (6.1). Xét điều kiện về pha:
(6.6)
trong đó zi và pi là các zero và các cực của hệ thống hở trước khi hiệu chỉnh. Đặt góc pha cần bù , từ biểu thức (6.6) ta suy ra:
Do số phức có thể biểu diễn dưới dạng véctơ nên công thức trên tương đương với công thức hình học sau:
Bước 3: Bây giờ ta phải chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh sao cho: 
(6.7)
Do Φ* và s* đã biết nên phương trình (6.7) có hai ẩn số cần tìm là 1/αT và 1/T. Chọn trước giá trị 1/αT bất kỳ thay vào phương trình (6.7) ta sẽ tính được 1/T và ngược lại, nghĩa là bài toán thiết kế có vô số nghiệm.
Thay vì chọn nghiệm bằng phương pháp giải tích (giải phương trình (6.7) như vừa trình bày chúng ta có thể chọn bằng phương pháp hình học. Theo hình 6.3 hai số phức 
và 
được biểu diễn bởi hai véctơ 
và 
, do đó 
và 
. Thay các góc hình học vào phương trình (6.7) ta được:
Từ phân tích trên ta thấy cực và zero của khâu hiệu chỉnh sớm pha phải nằm tại điểm B và C sao cho BPC * ˆ = F . Đây chính là cơ sở toán học của cách chọn cực và zero như đã trình bày trong trình tự thiết kế.
Quan hệ hình học giữa vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh sớm pha với góc pha cần bù
Quan hệ hình học giữa vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh sớm pha với góc pha cần bù
Ví dụ : Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp QĐNS.
Cho hệ thống điều khiểnnhư hình vẽ. Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh thỏa: POT < 20%; tqđ < 0,5 sec (tiêu chuẩn 2%).
Giải: Vì yêu cầu thiết kế cải thiện đáp ứng quá độ nên sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha:
Bước 1: Xác định cặp cực quyết định
Theo yêu cầu thiết kế, ta có:
Vậy cặp cực quyết định là:
Bước 2: Xác định góc pha cần bù
Cách 1. Dùng công thức đại số
Cách 2. Dùng công thức hình học
Bước 3: Xác định cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp đường phân giác.
Bước 4: Tính C K .
Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:
Nhận xét
Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh không qua điểm s* (H.6.4a) do đó hệ thống sẽ không bao giờ đạt được chất lượng đáp ứng quá độ như yêu cầu dù có thay đổi hệ số khuếch đại của hệ thống.
Sự thay đổi dạng QĐNS khi hiệu chỉnh sớm pha
a) QĐNS trước khi hiệu chỉnh; b) QĐNS sau khi hiệu chỉnh
Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số của hệ thống bị sửa dạng và qua điểm s* (H.6.4b). Bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (như đã thực hiện ở bước 4) hệ thống sẽ có cặp cực quyết định như mong muốn, do đó đáp ứng quá độ đạt yêu cầu thiết kế (H.6.5).
Đáp ứng nấc của hệ thống ở ví dụ 6.4
trước và sau khi hiệu chỉnh
Hiệu chỉnh trễ pha
Hàm truyền khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế có dạng:
Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, β và T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập mà “không” làm ảnh hưởng đến đáp ứng quá độ (ảnh hưởng không đáng kể).
Ta đã biết do khâu hiệu chỉnh trễ pha có hệ số khuếch đại ở miền tần số thấp lớn nên có tác dụng làm giảm sai số xác lập của hệ thống. Để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh trễ pha gần như không đổi thì cặp cực quyết định của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh phải nằm rất gần nhau. Để đạt được điều này ta phải đặt thêm cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho dạng QĐNS thay đổi không đáng kể. Đây là nguyên tắc cần tuân theo khi thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha. Trình tự thiết kế dưới đây cụ thể hóa nguyên tắc trên:
Trình tự thiết kế
Khâu hiệu chỉnh: Trễ pha
Phương pháp thiết kế: QĐNS
Bước 1: Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập.
Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc 
thì tính β bằng công thức: 
trong đó KV và K*V là hệ số vận tốc của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh.
Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh sao cho:
trong đó 
là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh.
Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:
Bước 4: Tính KC bằng cách áp dụng công thức:
trong đó 
là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thể tính gần đúng: 
Giải thích
Bước 1: Ta có hệ số vận tốc của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh là:
Do đó ta chọn β bằng công thức trên. Các bước thiết kế tiếp theo đảm bảo 
.
Bước 2: Gọi s1,2 là cặp cực quyết định của hệ thống trước khi hiệu chỉnh:
Xét điều kiện về pha. Để hệ thống có chất lượng quá độ gần như không thay đổi thì 
. Suy ra:
(6.8)
Phân tích ở trên cho thấy cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha phải thỏa mãn biểu thức (6.8). Khi thiết kế ta thường chọn khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho 
, để đạt được điều này có thể đặt cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha nằm rất gần góc tọa độ so với phần thực của 
. Do đó ta chọn vị trí zero sao cho:
Bước 3: Suy ra:
Để ý rằng bằng cách chọn như trên 1/T cũng nằm rất gần gốc tọa độ do 1/β.
Bước 4: Ở bước 2 và 3 ta mới chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha để thỏa mãn điều kiện về pha. Để thỏa mãn điều kiện biên độ ta chọn KC bằng công thức
Có thể dễ dàng kiểm chứng được rằng do cách chọn zero và cực của khâu hiệu chỉnh như ở bước 2 và bước 3 mà ở bước 4 ta luôn tính được 
. Như vậy KC thỏa mãn giả thiết ban đầu khi tính hệ số ε ở bước 1.
Hiệu chỉnh sớm trễ pha
Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế có dạng: 
trong đó: 
là khâu hiệu chỉnh sớm pha
là khâu hiệu chỉnh trễ pha.
Bài toán đặt ra thiết kế 
để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ thống.
Trình tự thiết kế
Khâu hiệu chỉnh: Sớm trễ pha
Phương pháp thiết kế: QĐNS
Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha 
để thỏa mãn yêu cầu về đáp ứng quá độ (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha ở mục trước).
Bước 2: Đặt 
.
Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha 
mắc nối tiếp vào 
để thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha ở mục trước).
Ví dụ 6.6. Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha dùng phương pháp QĐNS.
Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực phức với 
; hệ số vận tốc VK = 80.
Giải: Hệ chưa hiệu chỉnh có 
; VK = 8 .
Vì yêu cầu thiết kế bộ hiệu chỉnh để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập nên GC(s) là khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha.
Bước 1: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha GC1(s)
- Cặp cực quyết định sau khi hiệu chỉnh:
Góc pha cần bù
- Góc pha cần bù:
- Chọn zero của khâu sớm pha trùng với cực s = -0,5 của G(s) để hạ bậc hệ thống sau khi hiệu chỉnh.
Từ cực s*1 vẽ hai nửa đường thẳng tạo với nhau một góc là Φ* như hình 6.6. Cực của khâu sớm pha tại điểm B.
Bước 2: Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha GC2(s)
- Xác định β:
Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh sớm pha:
Hệ số vận tốc mong muốn: 
- Xác định zero của khâu trễ pha:
- Xác định cực của khâu trễ pha:
Tóm lại khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế là:
Có những hệ thống điều khiển dù thay đổi thông số đến mức nào cũng không làm nó ổn định được. Hệ thống như vậy được gọi là hệ thống có cấu trúc không ổn định. Muốn làm cho hệ thống chuyển sang trạng thái ổn định ta phải thay đổi cấu trúc của nó.
Làm thay đổi cấu trúc tức là làm thay đổi cấp của phương trình vi phân của hệ thống thì đặc tính chất lượng cũng thay đổi.
Một hệ thống ĐKTĐ trong đó các tọa độ yi(t) và sai lệch e(t) không phụ thuộc vào các tác động bên ngoài fi(t) được gọi là hệ thống bất biến. Để giảm ảnh hưởng của nhiễu và tăng độ chính xác người ta thường sử dụng nguyên tắc bù sai lệch tác động đầu vào và bù nhiễu.
Bộ điều khiển PID là trường hợp đặc biệt của hiệu chỉnh sớm trễ pha nên về nguyên tắc có thể thiết kế bộ điều khiển PID bằng phương pháp dùng QĐNS hoặc dùng biểu đồ Bode.
Một phương pháp khác cũng thường dùng để thiết kế bộ điều khiển PID là phương pháp giải tích. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 6.10. Cho hệ thống điều khiển như hình vẽ:
Hãy xác định thông số của bộ điều khiển PID sao cho hệ thống thỏa mãn yêu cầu:
- Hệ có cặp nghiệm phức với ξ= 0,5 , ωn = 8
- Hệ số vận tốc KV = 100.
Giải: Hàm truyền bộ điều khiển PID cần thiết kế:
Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh:
Theo yêu cầu đề bài KV = 100 nên suy ra:
Phương trình đặc tính của hệ sau khi hiệu chỉnh là:
(1)
Để hệ thống có cặp cực phức với 
thì phương trình đặc tính (1) phải có dạng:
Cân bằng các hệ số hai phương trình (1) và (2), suy ra:
Với KI = 100, giải hệ phương trình trên ta được:
Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh PID cần thiết kế là:
Bộ điều khiển PID được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế để điều khiển nhiều loại đối tượng khác nhau như nhiệt độ lò nhiệt, tốc độ động cơ, mực chất lỏng trong bồn chứa... do nó có khả năng làm triệt tiêu sai số xác lập, tăng tốc độ đáp ứng quá đo giảm độ vọt lố nếu các thông số của bộ điều khiển được chọn lựa thích hợp. Do tính thông dụng của nó nên nhiều hãng sản xuất thiết bị điều khiển đã cho ra đời các bộ điều khiển PID thương mại rất tiện dụng. Trong thực tế các phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID dùng QĐNS, biểu đồ Bode hay phương pháp giả tích rất ít được sử dụng do sự khó khăn trong việc xây dựng hàm truyền của đối tượng. Phương pháp phổ biến nhất để chọn thông so cho các bộ điều khiển PID thương mại hiện nay là phương pháp Zeigler-Nichols.
Phương pháp Zeigler-Nichols
Phương pháp Zeigler-Nichols là phương pháp thực nghiệm để thiết kế bộ điều khiển P, PI, hoặc PID bằng cách dựa vào đáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển. Bộ điều khiển PID cần thiết kế có hàm truyền là:
(6.9)
Zeigler và Nichols đưa ra hai cách chọn thông số bộ điều khiển PID tùy theo đặc điểm của đối tượng.
Cách 1: Dựa vào đáp ứng quá độ của hệ hở, áp dụng cho các đối tượng có đáp ứng đối với tín hiệu vào là hàm nấc có dạng chữ S như hình 6.7, ví dụ như nhiệt độ lò nhiệt, tốc độ động cơ, …
Đáp ứng nấc của hệ hở có dạng S
Thông số bộ điều khiển P, PI, PID được chọn như sau:
Ví dụ 6.11. Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển nhiệt độ của lò sấy, biết đặc tính quá độ của lò sấy thu được từ thực nghiệm có dạng như sau:
Giải. Dựa vào đáp ứng quá độ thực nghiệm ta có:
Chọn thông số bộ điều khiển PID theo phương pháp Zeigler- Nichols:
Cách 2: Dựa vào đáp ứng quá độ của hệ kín, áp dụng cho các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng, ví dụ như mực chất lỏng trong bồn chứa, vị trí hệ truyền động dùng động cơ,... Đáp ứng quá độ (hệ hở) của các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng không có dạng như hình 6.24 mà tăng đến vô cùng. Đối với các đối tượng thuộc loại này ta chọn thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng quá độ của hệ kín như hình 6.8. Tăng dần hệ số khuếch đại K của hệ kín ở hình 6.8 đến giá trị giới hạn Kgh, khi đó đáp ứng ra của hệ kín ở trạng thái xác lập là dao động ổn định với chu kỳ Tgh.
Đáp ứng nấc của hệ kín khi K = Kgh
Thông số bộ điều khiển P, PI, PID được chọn như sau:
Ví dụ :Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển vị trí góc quay của động cơ DC, biết rằng nếu sử dụng bộ điều khiển tỉ lệ thì bằng thực nghiệm ta xác định được khi K = 20 vị trí góc quay động cơ ở trạng thái xác lập là dao động với chu kỳ T = 1 sec.
Giải. Theo dữ kiện của bài toán, ta có: 
Chọn thông số bộ điều khiển PID theo phương pháp Zeigler-Nichols:
Khái niệm điều khiển được, quan sát được (Controllabbility and Observability) do R-Kalman, R.E. đề ra.
Điều khiển được của một hệ thống là với một tác động đầu vào liệu chuyển được trạng thái của hệ từ thời điểm đầu vào t0 đến thời điểm cuối t1 trong khoảng thời gian hữu hạn h (t1-t0) hay không?
Quan sát được của hệ thống là với các tọa độ đo được ở biến ra yi của hệ, liệu ta có thể khôi phục được các vector trạng thái xi trong một khoảng thời gian hữu hạn hay không?
