Số phận một đa tạp - Một bài toán huyền thoại và trận chiến của những người giải nó

Mấy tháng nay báo chí trong nước cũng như thế giới xôn xao về chuyện nhà toán học thiên tài người Nga Grigory Perelman, người đã chứng minh được giả thuyết Poincaré, bài toán của thế kỷ, có thể sẽ từ chối nhận giải thưởng 1 triệu đôla của Viện Clay. Cách đây 4 năm chính ông cũng đã từ chối Huy chương Fields, giải thưởng danh giá nhất dành cho các nhà toán, tương đương với giải Nobel dành cho các nhà vật lý. Xung quanh câu chuyện này ngoài những điều hấp dẫn về toán học ra còn có rất nhiều điều thú vị về nhân tình thế thái. Hai phóng viên Sylvia Nasar và David Gruber của tờ The New Yorker đã cất công sang tận St. Petersburg và Bắc Kinh để viết nên thiên phóng sự tuyệt vời mà Sài Gòn Tiếp Thị xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc qua bản dịch của dịch giả Phạm Văn Thiều.

Một buổi tối, ngày 20 tháng 6, vài trăm nhà vật lý, trong đó có một người từng đoạt giải Nobel, tụ tập trong phòng họp của khách sạn Hữu Nghị ở Bắc Kinh để nghe một báo cáo của nhà toán học người Trung Quốc Shing-Tung Yau. Vào cuối những năm 70, khi mà Yau ở còn chưa đầy ba mươi tuổi, ông đã có một loạt đột phá góp phần dẫn tới cuộc cách mạng của lý thuyết dây trong vật lý học và thêm vào đó ông đã được nhận Huy chương Fields – một phần thưởng danh giá nhất trong toán học và ông trở nên nổi tiếng trong cả hai lĩnh vực (toán học và vật lý) như một nhà tư tưởng có khả năng kỹ thuật vô song.

Sau đó, Yau đã trở thành giáo sư toán của ĐH Harvard, viện trưởng Viện Toán học ở Bắc Kinh và Hồng Công, chia sẻ thời gian giữa Hoa Kỳ và Trung Quốc. Bài giảng của ông ở khách sạn Hữu Nghị là một phần của hội nghị quốc tế về lý thuyết dây do ông tổ chức với sự hỗ trợ của Chính phủ Trung Quốc nhằm khích lệ những tiến bộ gần đây của nước này trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. (Hơn 6 ngàn sinh viên tụ tập ở Đại Lễ đường Nhân dân để đợi được phát bản báo cáo chính của Stephen Hawking, một người bạn thân của Yau). Không có nhiều người trong cử tọa biết về chủ đề bài giảng của Yau: đó là giả thuyết Poincaré, một bài toán hắc búa đã tồn tại một thế kỷ về những đặc trưng của các mặt cầu ba chiều, mà vì những hệ quả quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ học, cũng như vì nó đã làm thất bại mọi ý đồ nhằm giải nó trong quá khứ, nên các nhà toán học coi nó như chiếc chén thánh.

Là một người đàn ông 57 tuổi, chắc nịch, đeo kính gọng đen, mặc chiếc sơ mi ngắn tay, Yau đứng trên bục giảng, hai tay đút túi quần, kể về hai sinh viên của ông là Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao đã hoàn tất chứng minh giả thuyết Poincaré chỉ mới ít tuần trước. “Tôi rất kỳ vọng vào công trình của Zhu và Cao”, Yau nói. “Các nhà toán học Trung Quốc hoàn toàn có đủ lý do để tự hào về một thành công lớn lao trong việc giải quyết được trọn vẹn một bài toán hóc búa như thế”. Ông nói rằng Zhu và Cao phải hàm ơn một cộng sự lâu năm người Mỹ của ông là Richard Hamilton, người xứng đáng được coi là có uy tín nhất trong việc giải bài toán Poincaré. Ông cũng có nhắc tới Grigory Perelman, một nhà toán học Nga mà ông công nhận là đã có một đóng góp quan trọng. Tuy nhiên, Yau nói, “trong công trình của Perelman, mặc dù là rất đẹp, nhưng nhiều ý tưởng then chốt của chứng minh mới chỉ là những phác thảo, thường còn thiếu các chi tiết”. Và ông nói thêm, “Chúng tôi rất muốn gặp Perelman để bàn thảo. Nhưng ông ta sống ở St. Petersburg và từ chối giao tiếp với những người khác”.

Trong suốt 90 phút, Yau thảo luận về một số chi tiết có tính kỹ thuật trong chứng minh của các học trò ông. Và khi ông kết thúc, không một ai có câu hỏi nào. Tuy nhiên, đêm đó, một nhà vật lý người Brazin đã post lên mạng trong blog của ông cảm tưởng về bài giảng của Yau. “Nghe cứ như Trung Quốc sắp dẫn đầu cả trong lĩnh vực toán học đến nơi!”, ông viết.

Grigory Perelman quả thật là một người khó gần. Ông đã từ bỏ chức danh nghiên cứu viên tại Viện Toán Steklov ở St. Petersburg tháng 12 vừa qua, và ông cũng có rất ít bạn. Ông sống với mẹ trong một căn hộ ở ngoại ô thành phố. Mặc dù chưa bao giờ đồng ý phỏng vấn trước đó, nhưng ông là một người chân thành, cởi mở khi chúng tôi gặp ông vào hồi tháng 6, gần ngay sau hội nghị của Yau ở Bắc Kinh, và sau khi chúng tôi phải đi một chặng cuốc bộ dài qua thành phố. “Tôi cũng có tìm kiếm một số người bạn, nhưng họ không nhất thiết phải là nhà toán học”, ông nói. Một tuần trước Đại hội, Perelman đã dành nhiều giờ để thảo luận về giả thuyết Poincaré với Ngài John M. Ball, vị chủ tịch 58 tuổi của Hiệp hội toán học quốc tế (I.M.U.), một hội nghề nghiệp có ảnh hưởng nhất của lĩnh vực này. Cuộc gặp gỡ diễn ra tại một trung tâm hội nghị trong một ngôi nhà lớn uy nghiêm nhìn ra sông Neva, kể cũng thật khác thường. Vào cuối tháng 5, một ủy ban gồm 9 nhà toán học xuất sắc đã bỏ phiếu nhất trí trao cho Perelman Huy chương Fields vì công trình của ông về giả thuyết Poincaré, và Ball đã phải cất công tới St. Petersburg để thuyết phục Perelman nhận giải trong một nghi lễ công khai tại đại hội tổ chức 4 năm một lần của Hiệp hội toán học quốc tế, diễn ra tại Madrid ngày 22 tháng 8.

Giống như giải Nobel, Huy chương Fields ra đời, một phần, nhằm nâng khoa học vượt lên trên mọi hận thù dân tộc. Các nhà toán học Đức đã không được tham dự đại hội lần thứ nhất của I.M.U., sự tổn thương mà điều đó gây ra đã dẫn tới sự lập ra Huy chương Fields, một giải thưởng với ý định “mang tính quốc tế và vô tư một cách thuần khiết nhất có thể”.

Tuy nhiên, Huy chương Fields, giải thưởng được trao 4 năm một lần, cho từ 2 đến 4 nhà toán học, với tiêu chí không chỉ ban thưởng cho những thành tựu trong quá khứ mà còn muốn kích thích những nghiên cứu trong tương lai, nên nó chỉ được trao cho những nhà toán học ở tuổi 40 hoặc trẻ hơn. Trong mấy chục năm gần đây, khi số lượng các nhà toán học chuyên nghiệp tăng lên, Huy chương Fields ngày càng trở nên có uy tín. Trong gần 70 năm trở lại đây, chỉ có 44 Huy chương Fields đã được trao, kể cả ba công trình có liên quan gần gũi với giả thuyết Poincaré - và chưa có một nhà toán học nào từ chối giải thưởng này. Tuy nhiên, Perelman đã nói với Ball rằng ông không có ý định nhận nó, “Tôi từ chối”, ông chỉ nói ngắn gọn như vậy.

Trong suốt tám tháng, bắt đầu từ tháng 11 năm 2002, Perelman đã post chứng minh giả thuyết Poincaré của mình lên Internet thành ba lần. Giống như một bản sonnet hay một khúc aria trong âm nhạc, một chứng minh toán học có một hình thức riêng biệt và một tập hợp các quy ước riêng của nó. Nó được bắt đầu từ những tiên đề, tức là những chân lý đã được chấp nhận, và sau đó người ta dùng một chuỗi các mệnh đề lôgic để đi tới một kết luận. Nếu như lôgic là thực sự chặt chẽ, thì kết luận thu được sẽ là một định lý. Không giống như một chứng minh trong luật pháp hay trong khoa học (không phải toán học) vốn dựa trên bằng chứng, do đó phải chịu sự thẩm định, xem lại duyệt lại, còn chứng minh một định lý là cuối cùng, dứt khoát. Những phán xét về tính chính xác của một chứng minh được thông qua các tạp chí được biên tập hết sức khắt khe. Để đảm bảo không có sai sót, những người phản biện được Ban biên tập của các tạp chí lựa chọn một cách hết sức cẩn trọng, đồng thời danh tính của tác giả các bài báo đều được giữ kín. Việc cho công bố là đã ngụ ý rằng chứng minh là đúng đắn, hoàn chỉnh và đầu tiên.

Theo những tiêu chuẩn đó, thì chứng minh của Perelman là không chính thống. Nó vắn tắt một cách đáng kinh ngạc, nhất là đối với một công trình đầy tham vọng như vậy. Những chuỗi lôgic lẽ ra phải được trình bày trong nhiều trang giấy nhưng lại thường bị nén lại một cách quá đáng. Hơn thế nữa, chứng minh của ông ta lại không nhắc nhở gì một cách trực tiếp tới giả thuyết Poincaré cả và lại bao hàm nhiều kết quả rất đẹp nhưng lại không liên quan gì với lập luận trung tâm. Nhưng bốn năm sau, ít nhất có hai nhóm các chuyên gia đã kiểm tra chứng minh này và không tìm thấy một khe hở hay sai sót nghiêm trọng nào trong đó. Và đã có sự đồng thuận trong cộng đồng toán học quốc tế: Perelman đã giải được bài toán Poincaré. Mặc dù vậy, sự phức tạp của chứng minh cộng với sự trình bày vắn tắt các lập luận quan trọng nhất đã làm cho nó rất dễ bị công kích. Một số ít các nhà toán học đã tiến hành giám định để đánh giá và bảo vệ nó.

Sau khi đọc một loạt bài giảng về chứng minh của mình ở Mỹ vào năm 2003, Perelman trở về St. Petersburg. Từ đó, mặc dù vẫn tiếp tục trả lời những câu hỏi về nó bằng email, nhưng ông hạn chế đến mức tối thiểu việc tiếp xúc với các đồng nghiệp, và vì những lý do nào đó không ai hiểu nổi, ông đã không cho công bố chứng minh đó. Lại nữa, vào ngày 13 tháng 6 Perelman sẽ bước sang tuổi 40, nên cũng còn một mối nghi ngờ nhỏ về chuyện Perelman xứng đáng được trao Huy chương Fields. Khi Ball lập kế hoạch cho Đại hội của I.M.U. năm 2006, ông đã bắt đầu hình dung về nó như một sự kiện lịch sử. Hơn ba ngàn nhà toán học sẽ tham dự, và đức vua Juan Carlos của Tây Ban Nha đã đồng ý nhận làm chủ tọa lễ trao giải. Bản tin của I.M.U. đã tiên đoán rằng Đại hội sẽ được ghi nhớ như là “một sự kiện đặc biệt khi giả thuyết này trở thành một định lý”. Để đảm bảo chắc chắn là Perelman sẽ có mặt, Ball quyết định bay tới St. Petersburg.

Ball muốn giữ kín chuyến viếng thăm này – tên tuổi của những người được giải Fields sẽ được thông báo chính thức tại lễ trao giải. Và cái trung tâm hội nghị nơi họ gặp nhau quả là vắng vẻ. Trong vòng 10 giờ (hai ngày), Ball đã cố gắng thuyết phục Perelman đồng ý nhận giải. Nhưng Perelman, một người đàn ông mảnh khảnh và hói trán với bộ râu cong, hàng lông mày rậm và đôi mắt xanh, chỉ ngồi nghe một cách rất lịch sự. Đã ba năm nay ông không nói tiếng Anh, nhưng ông đã bác lại rất lưu loát những lời thuyết phục của Ball. Và Perelman đã tổng kết lại cuộc trò chuyện đó hai tuần sau: “Ông ta nêu cho tôi ba khả năng: đồng ý nhận giải và sẽ tới; đồng ý nhận giải nhưng không tới, và chúng tôi sẽ gửi huy chương cho anh sau; và thứ ba, không nhận giải. Ngay từ đầu tôi đã nói với ông ta rằng tôi chọn khả năng thứ ba.” Ông không quan tâm mấy đến Huy chương Fields, Perelman giải thích, “Nó hoàn toàn không có liên quan gì đến tôi”, ông nói. “Mọi người đều hiểu rằng nếu chứng minh của tôi là đúng thì không cần một sự công nhận nào khác”.

Từ khi được Poincaré nêu ra hơn một trăm năm trước, gần như năm nào cũng có những thông báo về chứng minh giả thuyết này. Nhà toán học Poincaré là em họ của Raymond Poincaré, tổng thống của nước Pháp trong thời gian Thế chiến lần thứ nhất, và cũng là một trong số những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ XIX. Là một người mảnh khảnh, cận thị, và nổi tiếng là đãng trí, Poincaré đã thai nghén bài toán nổi tiếng của mình vào năm 1924, tám năm trước khi ông qua đời. Ông đặt nó vào cuối một bài báo dài 65 trang như một vấn đề bột phát.

Poincaré chưa tiến được bao nhiêu trong việc chứng minh giả thuyết của mình. “Cettequestion nous entrainerait trop loin” (Vấn đề này rồi sẽ dẫn chúng ta đi rất xa), ông viết. Ông là người sáng lập ra tôpô học, một lĩnh vực toán học cũng thường được gọi là “hình học của tấm cao su”, vì tiêu điểm của nó là nhằm vào các tính chất nội tại của không gian. Theo quan điểm của một nhà tôpô thì không có sự khác biệt giữa một chiếc nhẫn và một chiếc ly cà phê có quai. Cả hai đều có một lỗ thủng duy nhất và người ta có thể “nhào nặn” cái này trở thành giống cái kia mà không phải cắt hay xé rách nó. Poincaré đã sử dụng thuật ngữ đa tạp để mô tả một không gian tôpô trừu tượng như vậy. Đa tạp hai chiều đơn giản nhất có thể chính là bề mặt của quả bóng đá, mà đối với một nhà tôpô học thì đó là một mặt cầu, thậm chí ngay cả khi nó bị bẹp dúm hay bị kéo giãn ra. Việc chứng minh một đối tượng là cái được gọi là mặt cầu hai chiều như thế (vì nó có thể có nhiều dạng) là chứng minh rằng nó là “đơn liên”, nghĩa là không có một lỗ thủng nào trong nó cả. Không giống như quả bóng đá, một chiếc nhẫn không phải là một mặt cầu thực sự. Nếu bạn buộc một nút trượt vòng quanh quả bóng thì bạn dễ dàng kéo cho nút này thắt lại bằng cách làm cho nó trượt theo bề mặt của quả bóng. Nhưng nếu bạn thắt một nút tương tự vòng quanh chiếc nhẫn qua cái lỗ ở giữa của nó thì bạn không thể kéo cho chiếc nút thắt chặt lại, nếu như bạn không làm gãy chiếc nhẫn.

Các đa tạp hai chiều đã được hiểu kỹ lưỡng ngay từ giữa thế kỷ XIX. Nhưng người ta còn chưa rõ những điều đúng với các đa tạp hai chiều có còn đúng với ba chiều hay không. Poincaré đã đưa ra giả thuyết cho rằng mọi đa tạp đóng ba chiều, đơn liên, tức các đa tạp không có lỗ thủng và có kích thước hữu hạn đều là các mặt cầu. Giả thuyết này tiềm tàng là rất quan trọng đối với các nhà khoa học nghiên cứu đa tạp ba chiều lớn nhất đã biết, đó là vũ trụ. Tuy nhiên, chứng minh giả thuyết này về mặt toán học hoàn toàn không phải là chuyện dễ dàng. Phần lớn những nỗ lực để làm chuyện đó đều đã đi tới chỗ bế tắc, nhưng một số đã dẫn tới những phát minh toán học quan trọng, như chứng minh Bổ đề Dehn, Định lý Mặt cầu (Sphere Theorem), và Định lý Vòng (Loop Theorem), hiện là những khái niệm cơ bản của tôpô học.

Vào những năm 60 -70, tôpô học đã trở thành một trong những lĩnh vực sinh sôi mạnh nhất của toán học và các nhà tôpô học trẻ tuổi thường xuyên công phá giả thuyết Poincaré. Điều kinh ngạc đối với phần lớn các nhà toán học là các đa tạp 4, 5 và có số chiều cao hơn hóa ra lại dễ chứng minh hơn các đa tạp ba chiều. Vào năm 1982, giả thuyết Poincaré đã được chứng minh với tất cả các số chiều, chỉ trừ có trường hợp ba chiều. Năm 2002, Viện Toán Clay, một cơ sở tư nhân nhằm khích lệ các nghiên cứu toán học, đã tuyên bố giả thuyết Poincaré là một trong bảy bài toán quan trọng và nổi bật nhất trong toán học và đã đặt ra giải thưởng 1 triệu đôla cho bất cứ ai chứng minh được nó.

“Toàn bộ cuộc đời tôi với tư cách một nhà toán học đã bị ngự trị bởi giả thuyết Poincaré,” John Morgan, trưởng Khoa toán của ĐH Columbia, nói, “Tôi không bao giờ nghĩ rằng mình sẽ có dịp nhìn thấy lời giải của nó. Tôi nghĩ rằng không ai có thể chạm được vào lời giải đó”.

Grigory Perelman không hề dự tính sẽ trở thành nhà toán học. “Không bao giờ có cái điểm quyết định hết”, ông nói khi chúng tôi gặp nhau. Chúng tôi gặp nhau ở bên ngoài tòa nhà chung cư của ông, tại khu chung cư cao tầng Kupchino ở gần đó. Cha của Perelman, một kỹ sư điện, đã khuyến khích ông mê toán. “Ông đã ra cho tôi nhiều bài tập về lôgic và toán để suy ngẫm”, Perelman nói, “ông cũng kiếm nhiều sách cho tôi đọc. Ông còn dạy tôi chơi cờ và ông đã rất tự hào về tôi”. Trong số những quyển sách mà ông mang về cho tôi có cuốn “Vật lý vui”, một cuốn sách thuộc loại best-seller ở Liên Xô vào những năm 30-40. Trong Lời nói đầu, tác giả cuốn sách đã mô tả nội dung của nó là “những câu đố, những bài toán nát óc, những giai thoại thú vị và rất nhiều so sánh thật bất ngờ” và còn nói thêm “Tôi cũng trích dẫn rất nhiều từ các sách của Jules Verne, H.G. Wells, Mark Twain và nhiều nhà văn khác, bởi vì ngoài mục đích giải trí ra, những thí nghiệm tưởng tượng mà các nhà văn này mô tả lại minh họa rất tốt cho những bài học vật lý ở trên lớp”. Chủ đề của cuốn sách bao hàm cả chuyện làm thế nào nhảy từ chiếc xe ôtô đang chạy, đến tại sao, “theo định luật Acsimet, chúng ta lại không bao giờ bị chết đuối ở Biển Chết.”

Ở tuổi 14, Perelman đã nổi lên như một ngôi sao trong câu lạc bộ toán của thành phố. Năm 1982, năm mà Shing-Tung Yau được trao Huy chương Fields, thì Perelman giành được số điểm tuyệt đối và được nhận Huy chương vàng tại kỳ thi Olympic Toán quốc tế ở Buđapest. Ông rất thân ái với các bạn cùng đội tuyển nhưng không thật thân thiết với ai. “Tôi không có bạn thân”, ông nói. Ông là một trong số hai ba học sinh người Do thái ở trong lớp, nhưng ông có niềm đam mê đối với nhạc kịch (opera) và chính điều đó khiến ông xa cách những người bạn cùng lớp. Mẹ ông là giáo viên toán ở một trường trung cấp kỹ thuật, biết chơi violon và bắt đầu nói với ông về nhạc kịch năm ông mới 6 tuổi. Khi Perelman 15 tuổi, ông đã dùng số tiền tiêu vặt để mua các đĩa hát. Ông đã vô cùng xúc động khi nghe đĩa ghi vở nhạc kịch “La Traviata” trong đó Violetta đóng vai Licia Albanese. “Giọng của cô ấy thật tuyệt vời”, ông nói.

Perelman vào học trường ĐH Tổng hợp Leningrad năm 1982, ở tuổi 16. Ông tham dự các lớp nâng cao về hình học và đã giải được một bài toán do Yuri Burago đặt ra. Burago là một nhà toán học làm việc ở Viện Toán Steklov và sau này là thầy hướng dẫn luận án tiến sĩ của Perelman. “Có rất nhiều sinh viên tài năng hay nói trước khi nghĩ”, ông nói, “nhưng Grisha thì khác, cậu ấy suy nghĩ rất sâu sắc, nên những câu trả lời của cậu ấy bao giờ cũng đúng. Cậu ấy bao giờ cũng kiểm tra đi, kiểm tra lại rất thận trọng”. Burago nói thêm, “Cậu ấy không nhanh nhẹn. Nhưng tốc độ đâu có ý nghĩa gì. Toán học không phụ thuộc vào tốc độ. Nó phụ thuộc vào sự sâu sắc.”

Tại Viện Toán Steklov, vào đầu những năm 1990, Perelman đã trở thành một chuyên gia về hình học các không gian Rieman và Alexandrov – sự mở rộng của hình học Euclid truyền thống – và đã bắt đầu công bố nhiều bài báo trong các tạp chí toán học hàng đầu ở Nga và Mỹ. Năm 1992, Perelman được mời tới giảng dạy ở ĐH New York và ĐH Stony Brook, mỗi trường một học kỳ. Vào thời gian ông sang Mỹ, nền kinh tế Nga đã bị suy sụp. Nhiều đồng nghiệp của ông ở Viện Toán Steklov hồi đó sống rất thiếu thốn.

Perelman rất hài lòng với cuộc sống ở Mỹ, thủ đô của cộng đồng toán học quốc tế. Lúc nào ông cũng chỉ mặc chiếc áo bluson nhung màu nâu và nói với bạn bè ở ĐH New York rằng ông ăn cũng rất đạm bạc chỉ có bánh mỳ, bơ và sữa. Ông rất thích đi bộ đến khu Brooklyn, nơi ông có mấy người họ hàng và có thể mua được thứ bánh mì đen Nga truyền thống. Một số đồng nghiệp còn khá bất ngờ thấy ông để móng tay rất dài, tới vài inxơ. “Nếu nó mọc thì tại sao lại không để cho nó mọc?” - ông thường trả lời thế mỗi khi có ai hỏi tại sao ông không cắt móng tay. Mỗi tuần một lần, ông cùng với một nhà toán học người Hoa là Gang Tian lái xe đến Priceton để dự một xêmina tổ chức ở Viện Nghiên cứu Cao cấp.

Trong nhiều thập niên gần đây, Viện này và ĐH Princeton ở gần đó đã trở thành hai trung tâm nghiên cứu tôpô. Trong những năm 70, William Thurston, một nhà toán học ở Princeton, người rất thích kiểm tra những ý tưởng của mình bằng cách dùng kéo và giấy, đã đề xuất một nguyên tắc để phân loại các đa tạp ba chiều. Ông lập luận rằng, trong khi các đa tạp có thể làm để có nhiều hình dạng khác nhau, tuy nhiên chúng vẫn có một hình học “ưa thích hơn”, chẳng hạn như một mảnh lụa vắt trên một mannequin ở một hiệu may, nó sẽ có dạng của mannequin đó.

Thurston cho rằng mỗi một đa tạp ba chiều đều được tách thành một hoặc nhiều hơn trong số 8 loại thành phần, kể cả loại cầu. Lý thuyết của Thurston, mà sau đó được biết đến dưới cái tên giả thuyết hình học hóa, đã mô tả được tất cả các đa tạp ba chiều khả dĩ và do đó là sự tổng quát hóa rất mạnh của giả thuyết Poincaré. Nếu chứng minh được giả thuyết này thì tất nhiên giả thuyết Poincaré cũng sẽ được chứng minh. Tuy hệ quả của hai giả thuyết này đối với các lĩnh vực khác còn chưa thấy rõ trong nhiều năm, nhưng đối với các nhà toán học thì đây là bài toán cơ bản. Theo Barry Mazur, nhà toán học thuộc ĐH Harvard, thì đây là loại định lý Pythagoras của thế kỷ XX, nó sẽ làm thay đổi cả quang cảnh”.

Năm 1982, Thurston được trao Huy chương Fields do những đóng góp của ông cho tôpô học. Năm đó David Hamilton, một nhà toán học ở ĐH Cornell, đã công bố một bài báo hay một phương trình tên là Dòng Ricci mà ông ngờ rằng có liên quan tới việc giải bài toán Thurston và do đó cả bài toán Poincaré. Giống như phương trình nhiệt, mô tả nhiệt sẽ tự động phân bố như thế nào qua một chất, chẳng hạn nhiệt sẽ chảy từ nơi nóng hơn sang nơi lạnh hơn trong một tấm kim loại, để tạo ra một nhiệt độ đồng đều, dòng Ricci, bằng cách làm trơn các chỗ bất thường, sẽ làm cho đa tạp có hình học đều đặn hơn.

Hamilton, con trai của một bác sĩ ở Cincinnati, đã thách thức cái nguyên mẫu khô cứng của nghề toán học. Ngang ngược và bất kính, ông cưỡi ngựa, lướt sóng, và thay bạn gái như thay áo. Ông coi toán học cũng chỉ đơn giản là một thứ trò vui của cuộc đời. Ở tuổi 49 ông được coi là một giảng viên xuất sắc, nhưng ông công bố tương đối ít, ngoại trừ một loạt các bài báo có ảnh hưởng sâu xa của ông về dòng Ricci và ông cũng có ít nghiên cứu sinh. Perelman có đọc các bài báo của Hamilton và cũng đã tới nghe ông giảng ở Viện Nghiên cứu Cao cấp. Và sau đó Perelman cũng đã rụt rè trò chuyện với Hamilton.

“Thực ra tôi cũng rất muốn hỏi ông ấy một số điều”, Perelman nhớ lại. “Ông ấy rất cởi mở, và tỏ ra rất kiên nhẫn. Ông cũng đã nói với tôi về một số điều mà ông đã công bố sau đó ít năm. Ông không hề ngại ngùng nói chuyện với tôi. Sự cởi mở và nhân hậu của Hamilton thực sự đã hấp dẫn tôi. Tôi không thể nói rằng phần lớn các nhà toán học đều xử sự như vậy”.

“Tôi làm việc về những vấn đề khác, mặc dù thi thoảng tôi cũng có nghĩ tới dòng Ricci”, Perelman nói thêm. “Chẳng cần phải là nhà toán học lớn cũng biết được nó sẽ rất có ích đối với việc hình học hóa. Tôi cảm thấy mình chưa biết nhiều lắm, nên muốn hỏi một vài câu”.

Shing-Tung Yau cũng đã hỏi Hamilton một số điều về dòng Ricci. Họ đã từng gặp nhau vào những năm 70 và đã khá thân thiết mặc dù họ có những khác biệt đáng kể về tích cách và nền tảng. Một nhà toán học ở ĐH California ở San Diego, người biết cả hai, đã gọi họ là “những tình yêu toán học của cuộc đời nhau”.

Gia đình Yau dọn từ Trung Hoa lục địa đến Hồng Công vào năm 1949, khi ông mới được 5 tháng tuổi, cùng với hàng trăm ngàn những người di cư khác. Một năm trước đó, cha ông, một nhân viên cứu tế của Liên Hợp Quốc đã mất hầu hết gia sản của mình trong một loạt các liên doanh thất bại. Tại Hồng Công, để nuôi vợ và 8 đứa con ông phải dạy kèm cho các sinh viên đại học ở đó về triết học và văn học Trung Quốc.

Khi Yau 14 tuổi, cha ông mất vì bị ung thư gan, để lại mẹ con ông trông chờ vào sự bố thí của các hội truyền giáo Cơ đốc và nguồn thu nhập nhỏ nhờ bán các đồ thủ công. Cho đến tận lúc đó, Yau vẫn chưa có gì tỏ ra khác thường cả. Nhưng ông đã bắt đầu lao vào học và dạy kèm toán cho các sinh viên khác để kiếm tiền trợ giúp thêm cho mẹ. Theo Dan Stroock, một nhà toán học ở M.I.T, người đã quen Yau hơn hai mươi năm thì “Một phần làm nên động lực của Yau là ông xem cuộc đời mình như là sự trả thù cho cha ông. Cha Yau giống như một người thuộc làu kinh sách nhưng lại để cho những đứa con của mình phải chết đói”.

Yau học toán tại trường Đại học Trung Hoa ở Hồng Công. Tại đây ông đã được nhà toán học Trung Quốc xuất sắc là Shiing-Shen Chern chú ý tới và đã giúp ông nhận được học bổng của trường ĐH California ở Berkeley. Chern cũng là tác giả của một định lý nổi tiếng kết hợp tôpô với hình học. Phần lớn sự nghiệp của ông là ở Berkeley, Mỹ, nhưng ông thường xuyên tới thăm Hồng Công, Đài Loan và sau này cả Trung Quốc nữa, ở những nơi đó ông được coi như một biểu tượng đáng kính của thành tựu trí tuệ người Hoa, để khích lệ việc học toán và khoa học.

Năm 1969 Yau bắt đầu làm nghiên cứu sinh ở Berkeley, ông đăng ký học 7 môn học mỗi học kỳ và dự thính một số một học khác. Ông gửi một nửa số tiền học bổng về cho mẹ ở Trung Quốc và sự ngoan cường của ông đã khiến các giáo sư đặc biệt chú ý. Và ông đã buộc phải chia sẻ danh tiếng đối với kết quả quan trọng đầu tiên khi biết rằng có hai nhà toán học khác cũng nghiên cứu cùng một bài toán. Năm 1976 ông đã chứng minh được một giả thuyết tồn tại hơn hai mươi năm liên quan đến một loại đa tạp mà lúc đó rất quan trọng đối với lý thuyết dây. Một nhà toán học người Pháp tên là Calabi đã đưa ra chứng minh bài toán mà sau này được gọi là giả thuyết Calabi, nhưng bài toán của Yau là tổng quát hơn và mạnh hơn. (Các nhà vật lý hiện nay thường nói tới các đa tạp Calabi-Yau). Theo Phillip Griffiths, một nhà hình học và nguyên giám đốc Viện Nghiên cứu Cao cấp, thì “Yau không có nhiều suy nghĩ đến cách thức thật độc đáo để nhìn nhận một đối tượng, nhưng lại giải được các bài toán cực khó về mặt kỹ thuật ở thời điểm mà chỉ ông mới có thể giải được, bằng một trí tuệ kỳ lạ và sức mạnh của ý chí”.

Năm 1980, khi mới 30 tuổi, Yau đã trở thành nhà toán học trẻ nhất được bổ nhiệm là thành viên của đội ngũ giảng dạy thường trực của Viện Nghiên cứu Cao cấp và ông đã bắt đầu thu hút được các tài năng. Hai năm sau ông giành được Huy chương Fields và là người Trung Quốc đầu tiên đoạt được giải thưởng này. Vào thời gian đó, Chern đã ở tuổi 70 và sắp sửa về hưu. Theo lời một người thân của Chern, thì “Yau quyết định sẽ trở thành nhà toán học Trung Quốc nổi tiếng tiếp theo đúng vào lúc Chern rời sân khấu”.

Harvard đã tìm mọi cách tuyển mộ Yau và khi mà, vào năm 1983, họ đang định đưa ra cho ông lời mời thứ hai thì Phillip Griffiths kể cho vị trưởng khoa của trường này nghe một biến thể của câu chuyện lấy từ cuốn “Tam quốc chí” một tiểu thuyết kinh điển của Trung Quốc. Vào thế kỷ thứ ba trước CN, một minh chủ muốn tạo nên một đế chế, nhưng vị tướng xuất sắc nhất Trung Quốc lại phục vụ cho đối thủ của ông ta. Vị minh chủ kia đã ba lần đến vương quốc của đối phương để tìm gặp vị tướng tài giỏi đó. Quá xúc động, viên tương đã đồng ý đi theo ông và họ đã cùng nhau xây dựng thành công một đế chế. Theo gợi ý đó, viên trưởng khoa của ĐH Harvard đã bay đến Philadelphia, nơi Yau hiện đang sống, để trực tiếp mời. Thậm chí như vậy, nhưng Yau vẫn khước từ. Nhưng rồi cuối cùng, vào năm 1987, Yau đã đồng ý đến làm việc tại Harvard.

Sau đó Yau mở rộng sự hợp tác với các đồng nghiệp và sinh viên. Ngoài việc tiến hành các nghiên cứu riêng của mình, ông bắt đầu tổ chức các xêmina. Ông thường liên kết với các nhà toán học có đầu óc đặc biệt sáng tạo, trong đó có Richard Schoen và William Meeks. Nhưng ấn tượng mạnh mẽ nhất đối với Yau là Hamilton, vì cả sự ngông nghênh và óc tưởng tượng tuyệt vời của ông ta. “Tôi có thể đùa cợt với Hamilton”, Yau nói với chúng tôi trong thời gian diễn ra hội nghị lý thuyết dây ở Bắc Kinh, “Tôi cũng có thể đi chơi cùng với ông và các bạn gái của ông ...”. Yau tin rằng Hamilton có thể sử dụng phương trình dòng Ricci để chứng minh các giả thuyết Thurston và Poincaré, và ông đã hối thúc Hamilton tập trung giải quyết bài toán đó. “Cuộc gặp gỡ với Yau đã làm thay đổi đời sống toán học của ông”, một người bạn của hai người nói về Hamilton. “Đó là lần đầu tiên ông đứng trước một điều cực kỳ lớn lao. Và cuộc nói chuyện với Yau đã mang đến cho ông sự dũng cảm và định hướng”.

Yau tin rằng nếu như ông có thể giúp để giải được bài toán Poincaré thì đó không chỉ là một chiến công đối với ông mà còn đối với cả đất nước Trung Quốc. Vào giữa những năm 1990, Yau và một số học giả Trung Quốc đã bắt đầu có những cuộc gặp gỡ với Giang Trạch Dân để thảo luận làm thế nào xây dựng lại các viện nghiên cứu ở trong nước vốn đã bị tàn phá nặng nề trong thời kỳ Cách mạng Văn hóa. Các trường đại học ở Trung Quốc cũng ở trong những điều kiện tương tự. Theo Steve Smale, người từng được Huy chương Fields vì đã chứng minh được giả thuyết Poincaré ở những số chiều cao hơn, và là người sau khi về hưu ở Berkeley đã tới giảng dạy ở ĐH Hồng Công và Bắc Kinh, thì “tất cả các sảnh đều sực mùi nước tiểu, tất cả các giáo sư ở tuốt trong một phòng làm việc chung” và được trả lương thấp không tưởng tượng nổi. Yau đã thuyết phục một đại gia về bất động sản ở Hồng Công tài trợ cho Viện Toán thuộc Viện Hàn lâm Khoa học ở Bắc Kinh và cấp tiền để lập ra một huy chương theo kiểu Huy chương Fields để trao cho các nhà toán học Trung Quốc dưới 45 tuổi. Trong những chuyến về thăm Trung Quốc, Yau đã chào món hàng Hamilton và các công trình hợp tác của hai người về dòng Ricci và giả thuyết Poincaré như là một mẫu mực cho các nhà toán học trẻ ở Trung quốc. Như ông đã nói công khai ở Bắc Kinh, “Họ luôn mồm nói rằng toàn bộ đất nước cần phải học tập Mao Chủ tịch hay một số anh hùng vĩ đại nào đấy. Nên tôi nửa đùa nửa thật nói với họ rằng cả nước nên học tập Hamilton.

Grigory Perelman cũng đã học tập Hamilton. Vào năm 1993, ông nhận được học bổng hai năm ở Berkeley. Trong thời gian ông ở đó, Hamilton đã có một số buổi thuyết trình tại khu đại học và trong một lần, ông có nói rằng ông đang nghiên cứu về giả thuyết Poincaré. Chiến lược dòng Ricci của Hamilton là cực kỳ kỹ thuật và rất khó thực hiện. Sau một buổi thuyết trình ở Berkeley, Hamilton có nói với Perelman về trở ngại lớn nhất của ông ta. Khi một không gian được là trơn bởi dòng Ricci, một số vùng biến dạng thành cái mà các nhà toán học gọi là các điểm kỳ dị. Một số vùng, gọi là “cổ chai”, trở thành những vùng có mật độ vô hạn. Khó khăn nhất đối với Hamilton là loại kỳ dị mà ông gọi là “điếu xì gà”. Nếu như nó xuất hiện, thì Hamilton lo ngại rằng sẽ không thể có được một hình học đều đặn. Perelman thấy rằng bài báo mà ông đã viết về các không gian Alexandrov có thể sẽ giúp Hamilton chứng minh được giả thuyết Thurston – và do đó cả giả thuyết Poincaré – nếu như Hamilton giải được bài toán xì gà. “Có lúc tôi đã hỏi Hamilton có biết một kết quả mà tôi đã chứng minh nhưng chưa công bố – mà bây giờ hóa ra rất hữu ích không”, Perelman nói. “Nhưng sau đó tôi nhận thấy rằng ông đã không hiểu điều tôi nói”. Theo Dan Stroock ở M.I.T. thì “Perelman đã học được điều gì đó ở Yau và Hamilton, còn họ thì không học được gì từ anh ta hết”.

Vào cuối năm đầu tiên ở Berkeley, Perelman đã viết được một số bài báo hết sức căn bản và độc đáo. Ông đã được mời đọc báo cáo tại Đại hội của I.M.U. vào năm 1994 tại Zurich, Thụy Sỹ cùng với một loạt lời mời làm việc tại Stanford, Princeton, Viện Nghiên cứu Cao cấp và ĐH Tel Aviv. Cũng như Yau, Perelman là một tay chuyên giải toán vĩ đại. Thay vì mất nhiều năm để xây dựng các khuôn khổ lý thuyết phức tạp, hoặc xác định các lĩnh vực nghiên cứu mới, Perelman tập trung vào việc thu được các kết quả cụ thể. Theo Mikhail Gromov, một nhà hình học người Nga nổi tiếng, người cũng đã từng cộng tác với Perelman, thì Perelman đã tìm mọi cách để vượt qua một khó khăn về mặt kỹ thuật có liên quan đến các không gian Alexandrov và hiện đang bị mắc ở đó. “Anh ta sẽ không thể vượt qua được”, Gromov nói. “Điều đó là vô vọng”.

Perelman nói với chúng tôi rằng ông thích làm việc trên vài bài toán đồng thời. Tuy nhiên, ở Berkeley ông thấy mình cứ trở đi trở lại với phương trình dòng Ricci của Hamilton và bài toán mà Hamilton nghĩ rằng mình sẽ giải được nhờ phương trình đó. Một số người bạn của Perelman thì nhận xét rằng ông càng ngày càng trở nên khắc kỷ hơn. Những vị khách từ St. Petersburg tới thăm căn hộ của ông đều kinh ngạc không hiểu tại sao đồ đạc ở đây lại nghèo nàn đến như vậy. Những người khác thì băn khoăn không hiểu ông có muốn quy giản cuộc đời mình về một tập hợp các tiên đề cứng nhắc hay không. Khi một thành viên của hội đồng thuê mướn ở Stanford đề nghị ông gửi sơ yếu lý lịch (CV) kèm theo cả hai thư giới thiệu, Perelman đã không thèm đếm xỉa. “Nếu họ đã biết tới các công trình của tôi, thì họ cần CV của tôi để làm gì”, ông nói. “Còn nếu như họ đã cần tới CV của tôi, tức là họ không biết các công trình của tôi”.

Cuối cùng ông đã nhận được một số lời mời làm việc. Nhưng ông đều từ chối tất cả và vào mùa hè năm 1995, ông trở về St. Petersburg với công việc cũ của ông ở Viện Steklov, nơi ông được trả lương chưa đầy 100 đô la một tháng. Lúc này, cha ông đã rời sang Israel hai năm trước và cô em gái của ông dự định cũng sẽ sang đó sau khi học xong đại học. Tuy nhiên, mẹ ông quyết định ở lại St. Petersburg và Perelman chuyển đến sống với mẹ. Ông nói với các đồng nghiệp ở Viện Steklov: “Tôi thấy rằng ở Nga tôi làm việc tốt hơn”.

Ở tuổi 29 Perelman đã xác lập được một cách vững chắc vị thế một nhà toán học của mình và đã gỡ bỏ hầu hết những trách nhiệm nghề nghiệp. Ông tự do theo đuổi bất cứ bài toán nào mà mình muốn và ông cũng biết rằng công trình của ông, nếu ông chọn để công bố chúng, đều sẽ được quan tâm một cách nghiêm túc. Yakov Eliashberg, một nhà toán học ở Stanford, người đã quen biết Perelman ở Berkeley, nghĩ rằng ông quay trở về Nga là để nghiên cứu bài toán Poincaré. “Tại sao lại không chứ?”, Perelman nói, khi chúng tôi hỏi ông linh cảm của Eliashberg có đúng không.

Internet đã cho phép Perelman làm việc một cách đơn độc mà vẫn tiếp tục được hưởng cái bể tri thức chung của nhân loại. Perelman tìm kiếm các bài báo của Hamilton để làm manh mối cho những suy ngẫm của mình và cũng đã tổ chức một số xêmina về các công trình của mình. “Ông không cần bất cứ một sự giúp đỡ nào”, Gromov nói, “Perelman thích làm việc một mình. Ông gợi cho tôi nhớ tới Newton - đó là sự ám ảnh của một ý tưởng, sự trăn trở một mình, bất chấp quan điểm của ai khác. Newton thì khó chịu hơn. Còn Perelman thì dễ chịu hơn, nhưng cũng rất bị ám ảnh”.

Năm 1995, Hamilton công bố một bài báo, trong đó ông bàn về một ít các ý tưởng của ông để hoàn tất một chứng minh giả thuyết Poincaré. Đọc bài báo đó, Perelman nhận thấy rằng Hamilton vẫn chưa có một bước tiến nào để vượt qua những trở ngại của ông – những cổ chai và các điếu xì gà. “Tôi không thấy một bằng chứng về sự tiến bộ nào kể từ đầu năm 1992”, Perelman nói với chúng tôi. “Cũng có thể ông đã bị bế tắc từ sớm hơn”. Tuy nhiên, Perelman nghĩ rằng ông đã nhìn thấy con đường vòng qua cái ngõ cụt đó. Năm 1996, ông đã viết cho Hamilton một bức thư dài phác thảo quan niệm của ông với hy vọng hai người cùng cộng tác. “Nhưng ông ta đã không trả lời”, Perelman nói. “Vì vậy tôi quyết định làm việc một mình”.

Yau không hề biết rằng Perelman đã neo lại ở các công trình của Hamilton. Ông ta ngày càng lo lắng về địa vị riêng của mình trong nghề nghiệp toán học, đặc biệt là ở Trung Quốc, nơi mà ông sợ rằng sẽ có một nhà toán học trẻ nào đó thay thế ông là người kết thừa của Chern. Hơn một thập niên đã qua kể từ ngày ông công bố kết quả quan trọng cuối cùng của mình, mặc dù ông vẫn tiếp tục công bố rất nhiều. “Yau muốn trở thành ông vua của hình học”, Michael Anderson, một nhà hình học ở Stony Brook, nói. “Yau tin rằng mọi thứ đều phải xuất phát từ ông ấy, rằng ông ấy phải bao quát tất cả và không muốn cho người ta xâm phạm vào lãnh thổ của mình”. Quyết tâm giữ quyền kiểm soát trên lãnh vực của mình, Yau thúc đẩy các sinh viên của ông phải tấn công các bài toán lớn. Tại Harvard ông đã duy trì một xêmina rất có uy tín về hình học vi phân, ba giờ một lần và ba lần một tuần. Mỗi sinh viên được trao cho một chứng minh mới được công bố và yêu cầu phải dựng lại chứng minh đó, sửa lại các lỗi và lấp kín các khe hở. Yau tin rằng một nhà toán học có trách nhiệm phải thật rõ ràng và cho sinh viên thấy được tầm quan trọng của sự chặt chẽ từng bước một.

Có hai cách để nhận được sự công nhận cho một đóng góp mới mẻ, độc đáo trong toán học. Thứ nhất, là phải tạo ra được một chứng minh mới mẻ độc đáo và thứ hai, là tìm ra khe hở quan trọng trong chứng minh của ai đó và bổ sung được cái khâu còn thiếu sót đó. Tuy nhiên, chỉ có những khe hở toán học thực sự – tức những lập luận còn thiếu hoặc các lập luận sai lầm – mới có thể là cơ sở để được coi là mới mẻ và độc đáo. Việc lấp đầy những khe hở trong trình bày, như những biện pháp nhanh chóng trực tiếp hơn hay việc thu gọn lại để làm cho chứng minh hiệu quả hơn, đều không được tính. Vào năm 1993, khi Andrew Wiles phát hiện ra khe hở trong chứng minh của mình đối với định lý cuối cùng của Fermat, bài toán này trở thành trò chơi tuyệt vời đối với bất kỳ ai cho tới khi, một năm sau, Wiles đã tìm ra sai sót. Trái lại, phần lớn các nhà toán học đều nhất trí rằng nếu những bước ẩn của một chứng minh được một chuyên gia làm cho trở nên tường minh thì cái khe hở ở đây chỉ đơn giản là khe hở về trình bày và chứng minh đó vẫn được xem là hoàn chỉnh và đúng đắn.

Cũng có khi sự khác biệt giữa một khe hở về toán học và một khe hở về trình bày rất khó nhận ra. Chí ít là đã có một trường hợp, đó là Yau và một sinh viên của ông đã nhầm lẫn hai loại khe hở này, khi hai người tuyên bố công trình của họ là mới mẻ và độc đáo nhưng các nhà toán học khác lại tin rằng chưa đảm bảo. Năm 1996, một nhà hình học trẻ ở Berkeley tên là Alexander Givental đã chứng minh được một giả thuyết toán học về đối xứng gương, một khái niệm rất cơ bản của lý thuyết dây. Mặc dù các nhà toán học khác thấy rằng chứng minh của Givental là rất khó theo dõi, nhưng họ lạc quan rằng anh đã giải được bài toán đó. Theo ý kiến của một nhà hình học thì “Không ai vào thời gian đó nói chứng minh ấy là không hoàn chỉnh và không đúng cả”.

Vào mùa thu năm 1997, Kefeng Liu ở Stanford, một học trò cũ của Yau, đã có một bài thuyết trình ở Harvard về đối xứng gương. Theo lời hai nhà hình học có dự buổi thuyết trình đó thì Liu giới thiệu một chứng minh rất giống với chứng minh của Givental và mô tả nó như một bài báo mà Liu viết chung với Yau và một sinh viên khác của Yau. “Liu có nhắc tới Givental nhưng chỉ như một cái tên trong một danh sách dài những người có đóng góp trong lĩnh vực này. (Trong khi đó Liu vẫn khẳng định rằng chứng minh của mình về căn bản là khác với chứng minh của Givental).

Cũng vào khoảng thời gian đó, Givental nhận được một email của Yau và các cộng sự của ông ta giải thích rằng họ đã nhận thấy những lập luận của Givental là không thể theo dõi được, những ký hiệu gây nhiều trở ngại, nên họ phải tự xây dựng chứng minh của chính mình. Họ ca ngợi Givental vì “ý tưởng xuất sắc” của ông và viết: “Trong phiên bản cuối cùng bài báo của chúng tôi, đóng góp quan trọng của anh sẽ được cám ơn.”

Vài tuần sau, bài báo “Nguyên lý đối xứng gương I” đã xuất hiện trên tạp chí Asian Journal of Mathematics , một tạp chí do chính Yau đồng chủ biên. Trong bài báo đó, Yau và các đồng tác giả mô tả kết quả của họ là “chứng minh đầy đủ đầu tiên” của giả thuyết đối xứng gương. Họ cũng nhắc tới công trình của Givental, nhưng chỉ thoáng qua. “Thật không may”, họ viết, “chứng minh của ông ấy, chứng minh đã được nhiều chuyên gia xuất sắc đọc, lại là không hoàn chỉnh”. Tuy nhiên, họ không chỉ ra được khe hở toán học cụ thể nào.

Givental đã tấn công lại. “Tôi muốn biết sự phản đối của họ là ở chỗ nào”, ông nói với chúng tôi. Vào tháng 3 năm 1998, Givental cho công bố một bài báo, có kèm một chú thích dài tới ba trang, trong đó ông chỉ ra rất nhiều chỗ tương tự giữa chứng minh của Yau và chứng minh của ông. Vài tháng sau, một nhà toán học trẻ ở ĐH Chicago, người được các đồng nghiệp đàn anh đề nghị tìm hiểu cuộc tranh luận này đã đi đến kết luận rằng chứng minh của Givental là hoàn chỉnh. Yau nói rằng ông đã cùng với các sinh viên của mình làm việc về chứng minh này đã nhiều năm và họ đã nhận được kết quả của mình độc lập với Givental. “Chúng tôi có những ý tưởng riêng của chúng tôi, và chúng tôi đã viết nó ra”, ông nói.

Cũng khoảng thời gian đó, Yau lần đầu tiên có sự xung đột nghiêm trọng với Chern và cộng đồng toán học trong nước. Trong nhiều năm, Chern đã hy vọng đưa Đại hội của I.M.U. về tổ chức ở Bắc Kinh. Theo một số nhà toán học, những người hoạt động trong I.M.U., thì thay vì, vào thời gian đó Yau đã làm những nỗ lực cuối cùng để Đại hội này diễn ra ở Hồng Công. Nhưng ông đã không thuyết phục đủ số đồng nghiệp ủng hộ đề nghị của ông và cuối cùng Đại hội đã diễn ra năm 2002 ở Bắc Kinh. (Yau đã ra sức phủ nhận những cố gắng của ông để đưa Đại hội về Hồng Công). Trong số những đại biểu mà I.M.U. chỉ định tham gia vào nhóm lựa chọn những người đọc báo cáo tại Đại hội có Gang Tian, một sinh viên thành công nhất của Yau, người đã từng ở ĐH New York cùng với Perelman và giờ đây là giáo sư của M.I.T. Ban tổ chức của nước đăng cai cũng đề nghị Tian đọc báo cáo ở phiên toàn thể.

Yau đã bị một cú bất ngờ. Vào tháng 3 năm 2000, ông đã cho công bố một bài tổng quan về tình hình nghiên cứu hiện thời trong lĩnh vực của ông với rất nhiều những trích dẫn hoành tráng về Tian và dự án hợp tác của hai người. Ông bèn trả thù bằng cách tổ chức hội nghị đầu tiên của ông về lý thuyết dây ở Bắc Kinh chỉ một vài ngày trước khi Đại hội của I.M.U diễn ra vào cuối tháng 8 năm 2002. Ông đã thuyết phục Stephen Hawking và một số người được giải thưởng Nobel về vật lý tới dự, khiến cho trong mấy ngày đó, báo chí Trung Quốc tràn ngập hình ảnh của nhũng nhà khoa học nổi tiếng. Yau còn định thu xếp để cho Giang Trạch Dân tiếp nhóm của ông ta. Một nhà toán học giúp đỡ việc tổ chức Đại hội toán học nhớ lại rằng dọc theo đường cao tốc nối sân bay với Bắc Kinh “có rất nhiều panô in ảnh Stephen Hawking dựng ở khắp nơi”.

Mùa hè năm đó, Yau không nghĩ nhiều về giả thuyết Poincaré nữa. Ông rất tin tưởng ở Hamilton, mặc dù tiến độ hết sức chậm chạp của ông này. “Hamilton là một người bạn rất tốt”, Yau nói với chúng tôi ở Bắc Kinh. “Thậm chí ông còn hơn là một người bạn. Ông là một người hùng. Ông cũng rất độc đáo. Chúng tôi đang làm việc để hoàn tất chứng minh của chúng tôi. Hamilton làm việc trên vấn đề này đã hai mươi nhăm năm. Làm việc mãi cũng phải mệt, nên ông ấy chắc cũng hơi bị mệt, cần phải nghỉ ngơi”.

Sau đó, vào tháng 11 năm 2002, Yau nhận được một email từ một nhà toán học Nga mà tên tuổi của người đó ông còn chưa kịp ghi nhận. Bức thư nói: “Xin được gửi tới ông bài báo của tôi”.

Ngày 11 tháng 11 năm đó, Perelman đã post lên mạng bài báo 39 trang với nhan đề “Công thức entropy đối với dòng Ricci và những áp dụng của nó trong hình học” trên địa chỉ arXiv.org, một trang Web chuyên dùng của các nhà toán học để post các bài báo trước khi được công bố trên các tạp chí chuyên ngành (preprint). Sau đó, Perelman gửi bản tóm tắt của bài báo đó theo email cho hơn 10 nhà toán học ở Mỹ, trong đó có Hamilton, Yau và Tian – không có ai trong họ đã nghe nói về ông nhiều năm nay. Trong bản tóm tắt đó ông đã giải thích rằng ông đã viết một bản phác thảo về “chứng minh có tính chiết trung “của giả thuyết hình học hóa”.

Perelman không nhắc gì đến chứng minh mà cũng không đưa nó cho ai xem. “Tôi không có những người bạn để bàn luận về chứng minh đó”, ông nói ở St. Petersburg. “Tôi không muốn thảo luận công trình của tôi với người mà tôi không tin cậy”. Andrew Wiles cũng đã từng làm việc về định lý cuối cùng của Fermat trong bí mật, nhưng ông có một đồng nghiệp đã kiểm tra nó trước khi công bố. Việc Perelman đã post hú họa chứng minh của một giả thuyết nổi tiếng nhất trong toán học lên mạng là sự coi thường những quy ước trong học thuật, nhưng ông cũng đã phải chịu một sự mạo hiểm đáng kể. Nếu chứng minh là sai, ông sẽ bị sỉ nhục một cách công khai và không có cách nào để ngăn cản một nhà toán học khác tìm ra những sai sót và công bố chiến công của mình. Nhưng Perelman nói rằng ông hoàn toàn không quan tâm. “Lý luận của tôi là thế này: nếu tôi phạm sai lầm và có ai đó dùng công trình của tôi để xây dựng được một chứng minh đúng thì tôi cũng rất hài lòng”, ông nói. “Tôi không bao giờ phô trương là người duy nhất giải được bài toán Poincaré cả”.

Gang Tian nhận được email của Perelman khi ông đang ở phòng làm việc của mình tại M.I.T. Ông và Perelman đã rất thân thiện vào năm 1992, khi cả hai ở ĐH New York và hàng tuần đều cùng dự một xêmina toán ở Princeton. “Tôi ngay lập tức nhận thấy tầm quan trọng của nó”, Tian nói về bài báo của Perelman. Tian đọc ngay bài báo và thảo luận nó với các đồng nghiệp, những người cũng nhiệt tình không kém.

Ngày 19 tháng 11, Vitali Kapovitch, một nhà hình học, đã gửi cho Perelman email sau:

Chào Grisha, Rất tiếc phải làm phiền anh, nhưng rất nhiều người hỏi tôi về preprint của bài báo “Công thức entropy đối với dòng Ricci ... “. Không biết tôi có hiểu đúng là trong khi anh vẫn chưa thể làm được hết tất cả các bước trong chương trình của Hamilton, nhưng anh đã làm đủ để có thể dùng một số kết quả trước đó của anh để chứng minh được giả thuyết hình học hóa, có đúng vậy không?” Vitali.

Câu trả lời của Perelman ngày hôm sau là: “Đúng thế đấy. Grisha”

Thực tế cái mà Perelman post lên mạng chỉ là đợt đầu tiên, nhưng nó đủ để các nhà toán học thấy rằng ông đã hình dung ra phải giải bài toán Poincaré như thế nào. Barry Mazur, một nhà toán học ở Harvard đã dùng hình ảnh cái chắn hình răng cưa để mô tả thành tựu của Perelman: “Giả sử xe ôtô của bạn có tấm chắn hình răng cưa và bạn gọi thợ tới yêu cầu làm bằng nó. Người thợ quá bận không thể nói cho bạn biết phải làm gì qua điện thoại được, nên bạn phải mang xe tới xưởng để anh ta xem xét. Khi đó anh ta sẽ nói cho bạn biết phải gõ một số cú vào đâu. Cái mà Hamilton đã đưa ra và Perelman hoàn tất là một thủ tục độc lập với các đặc điểm của những thiếu sót. Nếu bạn áp dụng phương trình dòng Ricci cho không gian 3-D, thì dòng này sẽ làm cho nó nhẵn nhụi, mất hẳn các răng cưa. Người thợ cơ khí thậm chí có thể chẳng cần nhìn thấy cái xe- mà chỉ cần áp dụng phương trình”. Perelman đã chứng minh rằng các “điếu xì gà” từng gây khó khăn cho Hamilton, có thể không thực sự xảy ra và ông cũng chứng tỏ được rằng bài toán “các cổ chai” cũng sẽ giải quyết được nếu thực hiện một chuỗi phức tạp các giải phẫu toán học: cắt bỏ các kỳ dị và vá các mép thô lại. “Bây giờ chúng ta đã có một thủ tục làm trơn mọi thứ và tại những điểm quan trọng kiểm soát được sự rách vỡ”, Mazur nói.

Tian bèn viết thư cho Perelman đề nghị ông tới M.I.T. giảng về bài báo của mình. Các đồng nghiệp ở Princeton và Stony Brook cũng đưa ra những lời mời tương tự. Perelman chấp nhận tất và đặt mua vé đi một tháng thỉnh giảng bắt đầu từ tháng 4 năm 2003. “Tại sao lại không?”, ông nhún vai nói với chúng tôi. Nói về các nhà toán học nói chung, Fedor Nazarov, nhà toán học thuộc ĐH Michigan, nói: “Sau khi bạn đã giải được một bài toán, bạn có một bức xúc rất lớn là phải nói về nó”.

Hamilton và Yau sững sờ trước thông báo của Perelman. “Chúng tôi cảm thấy rằng không một ai khác có khả năng tìm ra lời giải”, Yau nói với chúng tôi ở Bắc Kinh. “Nhưng sau đó vào năm 2002, Perelman lại thông báo rằng ông ấy công bố một điều gì đó. Về cơ bản ông ta làm theo một lối tắt trực tiếp hơn chứ không làm tất cả những đánh giá chi tiết như chúng tôi”. Hơn thế nữa, Yau phàn nàn, “chứng minh của Perelman được viết rất lộn xộn mà chúng tôi không sao hiểu được”.

Chuyến thỉnh giảng tháng 4 của Perelman được các nhà toán học và báo giới coi như một sự kiện lớn. Trong số những người tới dự các buổi thuyết trình này có mặt John Ball, Andrew Wiles, John Fobes Nash (con) những người đã chứng minh được định lý nhúng Riemann, và John Conway, người phát minh ra trò chơi tự động ô (cellular) có tên là Life (Cuộc sống). Rất nhiều người ngồi nghe vô cùng ngạc nhiên khi không thấy Perelman nói gì về giả thuyết Poincaré cả. “Đây là một người chứng minh được một định lý nổi tiếng thế giới mà thậm chí không nhắc nhở gì về nó”, Frank Quinn, một nhà toán học thuộc Virginia Tech, nói. “Ông ta bắt đầu từ một số điểm then chốt và những tính chất đặc biệt, rồi sau đó trả lời các câu hỏi. Ông ta đã xác lập được sự tin cậy. Nếu như ông ta vỗ ngực tuyên bố: “Tôi đã giải được nó” thì chắc chắn ông ta sẽ nhận được một sự chống lại ghê gớm”. Ông nói thêm, “Người ta chờ đợi một cảnh tượng thật kỳ lạ, nhưng Perelman còn bình thường hơn nhiều so với những gì người ta trông đợi”.

Perelman hoàn toàn thất vọng vì Hamilton không dự buổi thuyết trình đó cũng như các buổi tiếp sau ở Stony Brook. “Tôi là một môn đệ của Hamilton, mặc dù tôi không nhận được sự cho phép của ông”, Perelman nói với chúng tôi. Nhưng John Morgan ở Columbia, nơi mà hiện Hamilton đang giảng dạy, đã có mặt trong buổi thuyết trình tại Stony Brook, và kết thúc buổi thuyết trình ông đã mời Perelman tới nói chuyện tại Columbia. Với hy vọng gặp Hamilton ở đó nên Perelman đã đồng ý. Bài thuyết trình diễn ra vào sáng thứ bảy, Hamilton tới muộn và trong suốt thời gian dài thảo luận và trong bữa ăn trưa sau đó ông đã không hỏi một câu nào. “Tôi có cảm tưởng rằng ông mới chỉ đọc phần I bài báo của tôi”, Perelman nói.

Trong số ra ngày 18 tháng 4 năm 2003 của tạp chí nổi tiếng Science, Yau có đăng một bài báo có nói về chứng minh của Perelman: “Nhiều chuyên gia, nhưng không phải tất cả, dường như đã tin rằng Perelman đã thoát được ra khỏi các điếu xì gà và thuần dưỡng được các cổ chai hẹp. Nhưng về chuyện ông kiểm soát được số các phẫu thuật thì người ta ít tin tưởng hơn. Điều đó chứng tỏ có thể có một lỗi nghiêm trọng, Yau cảnh báo, khi lưu ý rằng rất nhiều những nỗ lực chứng minh khác của giả thuyết Poincaré đều đã từng vấp phải những bước thiếu