Quả cầu

Giả sử M là một không gian metric. Một quả cầu (mở) với bán kính r > 0 và tâm là điểm p trong M được định nghĩa là

với d là khoảng cách hay còn gọi là metric. Nếu ký hiệu nhỏ hơn (<) trong định nghĩa trên được thay bằng ký hiệu nhỏ hơn hoặc bằng (≤), ta được định nghĩa về cái gọi là quả cầu đóng:

Chú ý rằng, bất kể là đóng hay mở, quả cầu luôn luôn chứa điểm p vì r>0. Một quả cầu đơn vị (đóng hay mở) là quả cầu có bán kính r bằng 1 trong hai định nghĩa nói trên.

Một tập con của một không gian metric được gọi là bị chặn nếu nó được chứa trong một quả cầu nào đó. Một tập hợp được gọi là bị chặn toàn phần nếu cho trước một bán kính r bất kỳ, có thể tìm được một số hữu hạn quả cầu có bán kính r mà phủ được tập hợp đó.

Các quả cầu mở với metric d tạo ra một cơ sở của topo cảm ứng bởi d (theo định nghĩa). Điều này có nghĩa là, tất cả các tập mở trong một không gian metric đều có thể biểu diễn bằng hợp của một số quả cầu mở nào đó.

Trong không gian Euclide n chiều, với metric thông thường; nếu không gian này là một đường thẳng thì quả cầu mở là một khoảng; và nếu không gian này là một mặt phẳng, thì quả cầu mở là hình đĩa bên trong đường tròn. Một quả cầu đơn vị đóng thường được kí hiệu bằng Dn; phần bên ngoài của quả cầu này là một mặt cầu n-1, được kí hiệu là Sn-1. Chẳng hạn như mặt cầu 3-chiều S3 sẽ là "phần bên ngoài" (hay phần biên) của D4. Hai khái niệm quả cầu và mặt cầu trong không gian có số chiều cao hơn thường được gọi là siêu cầu và siêu mặt cầu. Có thể xem thêm về khái niệm "thể tích" và "diện tích" trong trường hợp không gian có số chiều lớn hơn 3.

Với các metric khác nhau, hình dạng quả cầu trong cùng một không gian có thể khác nhau. Ví dụ:

• Trong không gian 2 chiều:
  • Với chuẩn-1 (tức là theo hình học taxicab), quả cầu là một hình vuông có các đường chéo song song với các trục tọa độ.
  • Với chuẩn cảm ứng từ khoảng cách Chebyshev, quả cầu là một hình vuông có các cạnh song song với các trục tọa độ.
• Trong không gian 3 chiều:
  • Với chuẩn-1, quả cầu là một bát diện đều với các đường chéo thân song song với các trục tọa độ.
  • Với chuẩn cảm ứng từ khoảng cách Chebyshev, quả cầu là một khối lập phương có các cạnh song song với các trục tọa độ.

Chúng ta có thể đưa ra khái niệm quả cầu trong không gian topo bất kỳ, mà không cần thiết phải cho nó cảm ứng với một metric nào đó. Một quả cầu (đóng hay mở) trong một không gian topo là một tập đồng phôi với một quả cầu Euclide (đóng hay mở) đã định nghĩa ở phần trên. Một quả cầu có số chiều của nó: một quả cầu n-chiều được viết tắt là quả cầu-n và được ký hiệu là Bn or Dn. Với hai giá trị n và m khác nhau, quả cầu-n không đồng phôi với quả cầu-m. Một quả cầu không nhất thiết phải trơn; nếu nó trơn thì cũng không nhất thiết phải vi đồng phôi với một quả cầu Euclide.