otomat hữu hạn

Nội dung chính:

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một loại "máy trừu tượng" gọi là ôtômát hữu hạn. Chúng là công cụ dùng đoán nhận một lớp ngôn ngữ khá đơn giản gọi là lớp ngôn ngữ chính quy. Trước hết, hai dạng của ôtômát hữu hạn sẽ lần lượt được trình bày và có sự chứng minh rằng chúng tương đương nhau về khả năng đoán nhận ngôn ngữ. Tiếp đó, ta sẽ đề cập đến biểu thức chính quy - một phương tiện khác để xác định ngôn ngữ và ta lại thấy rằng lớp ngôn ngữ do các ôtômát hữu hạn chấp nhận chính là lớp ngôn ngữ chính quy. Phần tiếp theo của chương sẽ đề cập đến mối quan hệ giữa cơ chế ôtômát và các biểu thức chính quy dùng ký hiệu cho ngôn ngữ. Cuối chương này, một vài ứng dụng cụ thể của ôtômát hữu hạn sẽ được trình bày.

Mục tiêu cần đạt:

Kết thúc chương này, sinh viên cần nắm vững :

Khái niệm ôtômát hữu hạn, các thành phần, các dạng và sự khác biệt cơ bản giữa hai dạng.

Cách thức chuyển đổi tương đương từ dạng đơn định sang không đơn định và ngược lại.

Viết biểu thức chính quy ký hiệu cho tập ngôn ngữ chính quy.

Mối liên quan giữa ôtômát hữu hạn và biểu thức chính quy.

Vẽ sơ đồ chuyển trạng thái (đơn định hoặc không đơn định) từ một biểu thức chính quy.

Tìm các ứng dụng thực tế khác từ mô hình ôtômát hữu hạn.

Kiến thức cơ bản:

Để tiếp thu tốt nội dung của chương này, sinh viên cần có một số các kiến thức liên quan về lý thuyết đồ thị, lý thuyết mạch; hiểu các khái niệm cơ bản về kiến trúc máy tính; có sử dụng qua một số trình soạn thảo văn bản thông thường …

Tài liệu tham khảo :

John E. Hopcroft, Jeffrey D.Ullman – Introduction to Automata Theory, Languages and Computation – Addison – Wesley Publishing Company, Inc – 1979 (Chapter 2 : Finite Automata and Regular Expressions).

Phan Thị Tươi – Trình biên dịch – Nhà xuất bản Giáo dục – 1986 (Chương 3 : Bộ phân tích từ vựng).

J.A.Garcia and S.Moral- Theory of Finite Automata :

http://decsai.ugr.es/~jags/fat.html

Donald R. Biggar - Regular Expression Matching Using Finite Automata:

http://www3.sympatico.ca/dbiggar/FA.home.html

Ôtômát hữu hạn đơn định - DFA (Deterministic Finite Automata)

Một ôtômát hữu hạn đơn định (DFA) - gọi tắt là FA -gồm một tập hữu hạn cáctrạng thái và một tập các phép chuyển từ trạng thái này tới trạng thái khác trên các ký hiệu nhập (input symbols) được chọn từ một bộ chữ cái Σ nào đó. Mỗi ký hiệu nhập có đúng một phép chuyển khỏi mỗi trạng thái (có thể chuyển trở về chính nó). Một trạng thái, thường ký hiệu là q₀, gọi là trạng thái bắt đầu (trạng thái ôtômát bắt đầu). Một số trạng thái được thiết kế như là các trạng thái kết thúc hay trạng thái chấp nhận.

Một đồ thị có hướng, gọi là sơ đồ chuyển (transition diagram) tương ứng với một DFA như sau: các đỉnh của đồ thị là các trạng thái của DFA; nếu có một đường chuyển từ trạng thái q đến trạng thái p trên input a thì có một cung nhãn a chuyển từ trạng thái q đến trạng thái p trong sơ đồ chuyển. DFA chấp nhận một chuỗi x nếu như tồn tại dãy các phép chuyển tương ứng trên mỗi ký hiệu của x dẫn từ trạng thái bắt đầu đến một trong những trạng thái kết thúc.

Chẳng hạn, sơ đồ chuyển của một DFA được mô tả trong hình 3.1. Trạng thái khởi đầu q₀ được chỉ bằng mũi tên có nhãn "Start". Chỉ có duy nhất một trạng thái kết thúc, cũng là q₀ trong trường hợp này, được chỉ ra bằng hai vòng tròn. Ôtômát này chấp nhận tất cả các chuỗi số 0 và số 1 với số số 0 và số số 1 là số chẵn.

Thí dụ 3.1 :

Hình 3.1 - Sơ đồ chuyển của một DFA

Một điều cần lưu ý, DFA sử dụng mỗi trạng thái của nó để giữ chỉ một phần của chuỗi số 0 và 1 chứ không phải chứa một số thực sự, vì thế DFA cần dùng một số hữu hạn trạng thái.

Định nghĩa

Một cách hình thức ta định nghĩa ôtômát hữu hạn là bộ gồm năm thành phần (Q, Σ, δ, q₀, F), trong đó :

. Q là tập hợp hữu hạn các trạng thái.

. Σ là bộ chữ cái nhập hữu hạn.

. δ là hàm chuyển ánh xạ từ Q × Σ → Q, tức là δ(q, a) là một trạng thái được cho bởi phép chuyển từ trạng thái q trên ký hiệu nhập a.

. q₀ ∈ Q là trạng thái bắt đầu

. F ⊆ Q là tập các trạng thái kết thúc.

Ta vẽ DFA như là bộ điều khiển hữu hạn, với mỗi trạng thái thuộc Q, DFA đọc một chuỗi các ký hiệu a từ Σ viết trên băng (như hình vẽ).

Hình 3.2 - Mô tả một DFA

Trong một lần chuyển, DFA đang ở trạng thái q đọc ký hiệu nhập a trên băng, chuyển sang trạng thái được xác định bởi hàm chuyển δ(q, a), rồi dịch đầu đọc sang phải một ký tự. Nếu δ(q, a) chuyển đến một trong những trạng thái kết thúc thì DFA chấp nhận chuỗi được viết trên băng input phía trước đầu đọc, nhưng không bao gồm ký tự tại vị trí đầu đọc vừa dịch chuyển đến. Trong trường hợp đầu đọc đã dịch đến cuối chuỗi trên băng, thì DFA mới chấp nhận toàn bộ chuỗi trên băng.

Hàm chuyển trạng thái mở rộng

Để có thể mô tả một cách hình thức hoạt động của một DFA trên chuỗi, ta mở rộng hàm chuyển δ để áp dụng đối với một trạng thái trên chuỗi hơn là một trạng thái trên từng ký hiệu. Ta định nghĩa hàm chuyển δ như một ánh xạ từ Q × Σ^* → Q với ý nghĩa δ(q, w) là trạng thái DFA chuyển đến từ trạng thái q trên chuỗi w. Một cách hình thức, ta định nghĩa :

1. d (q, ε) = q
2. δ (q, wa) = δ(δ (q, w), a), với mọi chuỗi w và ký hiệu nhập a.

Một số quy ước về ký hiệu :

• Q là tập các trạng thái. Ký hiệu q và p (có hoặc không có chỉ số) là các trạng thái, q₀ là trạng thái bắt đầu.
• Σ là bộ chữ cái nhập. Ký hiệu a, b (có hoặc không có chỉ số) và các chữ số là các ký hiệu nhập.
• δ là hàm chuyển.
• F là tập các trạng thái kết thúc.
• w, x, y và z (có hoặc không có chỉ số) là các chuỗi ký hiệu nhập.

Ngôn ngữ được chấp nhận bởi DFA

Một chuỗi w được chấp nhập bởi ôtômát hữu hạn M (Q, Σ, δ, q₀, F) nếu δ(q₀, w) = p với p ∈ F. Ngôn ngữ được chấp nhận bởi M, ký hiệu L(M) là tập hợp:

Thí dụ 3.2 : Xét sơ đồ chuyển ở hình 3.1. Theo khái niệm hình thức, ta có DFA được xác định bởi M (Q, Σ, δ, q₀, F) với Q = {q₀, q₁, q₂, q₃}, Σ = {0, 1}, F = {q₀} và hàm chuyển δ như sau:

Giả sử chuỗi w = 110101 được nhập vào M.

Ta có δ(q₀, 1) = q₁ và δ(q₁, 1) = q₀ ,vậy δ(q₀, 11) = δ(δ(q₀,1),1) = δ(q₁, 1) = q₀.

Tiếp tục δ(q₀, 0) = q₂, vậy δ(q₀, 110) = δ(δ(q₀, 11), 0) = q₂.

Tiếp tục ta có δ(q₀, 1101) = q₃, δ(q₀, 11010) = q₁

Và cuối cùng δ(q₀, 110101) = q₀ ∈ F.

(Hay d(q₀, 110101) = d(q₁, 10101) = d(q₀, 0101) = d(q₂, 101) = d(q₃, 01) = d(q₁, 1) = q₀ ∈ F)

Vậy 110101 thuộc L(M). Ta có thể chứng minh rằng L(M) là tập mọi chuỗi có số chẵn số 0 và số chẵn số 1.

Theo mô tả DFA như trên, ta thấy cũng có thể dùng bảng hàm chuyển (transition table) để mô tả các phép chuyển trạng thái của một ôtômát hữu hạn. Trong bảng hàm chuyển, hàng chứa các trạng thái thuộc tập trạng thái của ôtômát và cột là các ký hiệu thuộc bộ chữ cái nhập. Bảng hàm chuyển gợi ý cho chúng ta một cấu trúc dữ liệu để mô tả cho một ôtômát hữu hạn, đồng thời cũng cho thấy có thể dễ dàng mô phỏng hoạt động của DFA thông qua một chương trình máy tính, chẳng hạn dùng cấu trúc vòng lặp.

Giải thuật mô phỏng hoạt động của một DFA

Nhận xét :

Một cách tổng quát, ta thấy tập Q của DFA thể hiện các trạng thái lưu trữ của ôtômát trong quá trình đoán nhận ngôn ngữ, và như vậy khả năng lưu trữ của ôtômát là hữu hạn. Mặt khác, hàm chuyển d là hàm toàn phần và đơn trị, cho nên các bước chuyển của ôtômát luôn luôn được xác định một cách duy nhất. Chính vì hai đặc điểm này mà DFA mô tả như trên được gọi là ôtômát hữu hạn đơn định.

Ôtômát hữu hạn không đơn định - NFA (Nondeterministic Finite Automata)

Xét một dạng sửa đổi mô hình DFA để chấp nhận không, một hoặc nhiều hơn một phép chuyển từ một trạng thái trên cùng một ký hiệu nhập. Mô hình mới này gọi là ôtômát hữu hạn không đơn định (NFA).

Một chuỗi ký hiệu nhập a₁ a₂ ... a_n được chấp nhận bởi một NFA nếu có tồn tại một chuỗi các phép chuyển, tương ứng với chuỗi nhập, từ trạng thái bắt đầu đến trạng thái kết thúc. Chẳng hạn, chuỗi 01001 được chấp nhận bởi ôtômát trong hình dưới đây vì có chuỗi phép chuyển qua các trạng thái q₀, q₀, q₀, q₃, q₄, q₄ có nhãn tương ứng là 0, 1, 0, 0, 1. NFA này chấp nhận tất cả các chuỗi có hai số 0 liên tiếp hoặc hai số 1 liên tiếp.

Thí dụ 3.

Hình 3.3 ­- Sơ đồ chuyển của một NFA

Chú ý rằng có thể xem ôtômát hữu hạn đơn định - DFA (hay gọi tắt là FA) là một trường hợp đặc biệt của NFA, trong đó mỗi trạng thái chỉ có duy nhất một phép chuyển trên mỗi ký hiệu nhập. Vì thế trong DFA, với một chuỗi nhập w và trạng thái q, chỉ có đúng một đường đi nhãn w bắt đầu từ q. Để xác định chuỗi w có được chấp nhận bởi DFA hay không chỉ cần kiểm tra đường đi này. Nhưng đối với NFA, có thể có nhiều đường đi có nhãn là w, và do đó tất cả phải được kiểm tra để thấy có hay không có đường đi tới trạng thái kết thúc.

Tương tự như DFA, NFA cũng hoạt động với một bộ điều khiển hữu hạn đọc trên băng nhập. Tuy nhiên, tại mỗi thời điểm, bộ điều khiển có thể chứa một số bất kỳ trạng thái. Khi có sự lựa chọn trạng thái kế tiếp, chẳng hạn như từ trạng thái q₀ trên ký hiệu nhập 0 ở hình 3.3, ta phải tưởng tượng như có các bản sao của ôtômát đang thực hiện đồng thời. Mỗi trạng thái kế tiếp mà ôtômát có thể chuyển đến sẽ tương ứng với một bản sao của ôtômát mà tại đó bộ điều khiển đang chứa trạng thái đó.

Chẳng hạn, với chuỗi 01001, ta có :

Định nghĩa

Một cách hình thức ta định nghĩa ôtômát hữu hạn không đơn định NFA là một bộ 5 thành phần (Q, Σ, δ, q₀, F) trong đó Q, Σ, q₀ và F có ý nghĩa như trong DFA, nhưng δ là hàm chuyển ánh xạ từ Q × Σ → 2^Q.

Khái niệm δ(q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p sao cho có phép chuyển trên nhãn a từ trạng thái q tới p.

Hàm chuyển trạng thái mở rộng

Để thuận tiện trong việc mô tả hoạt động ôtômát trên chuỗi, ta mở rộng hàm chuyển δ ánh xạ từ Q × Σ^* → 2^Q như sau :

1. d(q, e) = {q}

1. δ(q, wa) = { p | có một trạng thái r trong δ(q, w) mà p thuộc δ(r, a)}

= δ(δ(q, w), a)

1. d(P, w) = È_{q ∈ P} d(q, w) , ∀P ⊆ Q.

Ngôn ngữ được chấp nhận bởi NFA

Ngôn ngữ L(M), với M là ôtômát hữu hạn không đơn định NFA (Q, Σ, δ, q₀, F) là tập hợp :

L(M) = {w | δ(q₀, w) có chứa một trạng thái trong F }

Thí dụ 3.4 : Xét sơ đồ chuyển của hình 3.3. Theo khái niệm hình thức, ta có :

NFA M ({q₀, q₁, q₂, q₃, q₄}, {0, 1}, d, q₀, {q₂, q₄}) với hàm chuyển d như sau :

Xét chuỗi nhập w = 01001

Ta có : d (q₀, 0) = {q₀, q­₃}

d (q₀, 01) = d(d(q₀, 0),1) = d({q₀, q­₃},1) = d (q₀, 1) È d (q₃, 1) = {q₀, q­₁}

Tương tự , ta có thể tính :

d (q₀, 010) = {q₀, q­₃}

d (q₀, 0100) = {q₀, q­₃, q­₄}

và d (q₀, 01001) = {q₀, q­₁, q­₄}

Do q₄ ∈ F nên w ∈ L (M).

Sự tương đương giữa DFA và NFA

Vì mỗi DFA là một NFA, nên rõ ràng lớp ngôn ngữ được chấp nhận bởi NFA cũng bao gồm các tập chính quy (đây chính là ngôn ngữ được chấp nhận bởi DFA ). Tuy nhiên, không có cơ sở để nói rằng NFA chỉ chấp nhận duy nhất các tập hợp này. Điều đó cho thấy DFA có thể mô phỏng được hoạt động của NFA, nghĩa là với mỗi NFA, ta có thể xây dựng một DFA tương đương (chấp nhận cùng một ngôn ngữ với nó). Đặt một DFA mô phỏng hoạt động của NFA là cho phép các trạng thái của DFA tương ứng với tập các trạng thái của NFA. Tại mỗi thời điểm, DFA lưu giữ trong bộ điều khiển tất cả các trạng thái mà NFA có thể chuyển đến khi đọc cùng một input như DFA.

ĐỊNH LÝ 3.1 : Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn tại một DFA chấp nhận L.

Chứng minh

Đặt M (Q, Σ, δ, q₀, F) là NFA chấp nhận L.

Ta xây dựng DFA M' (Q’, Σ, δ’, q₀’, F’) tương đương như sau:

- Các trạng thái của M’ là tất cả các tập hợp con của tập trạng thái của M, hay Q’= 2^Q. Tại mỗi thời điểm, M’ sẽ lưu giữ trong trạng thái của nó tất cả các trạng thái có thể của M. Một phần tử trong Q’ được ký hiệu là [q₁, q₂,..., q_i], trong đó các trạng thái q₁, q₂,..., q_i ∈ Q. Ta xem [q₁, q₂,..., q_i] là một trạng thái đơn của DFA tương ứng với một tập trạng thái của NFA.

- q₀’ = [q₀].

- F' là tập hợp các trạng thái của Q’ có chứa ít nhất một trạng thái kết thúc trong tập F của M.

- Ta định nghĩa hàm chuyển δ’ như sau :

d’ ([q₁, q₂,..., q_i], a) = [p₁, p₂,..., p_j] nếu và chỉ nếu δ ({q₁, q₂,..., q_i }, a) = {p₁, p₂,..., p_j}

Bây giờ ta chứng minh quy nạp theo độ dài của chuỗi nhập x rằng:

d ’( q 0 ’ , x) = [q 1 , q 2 ,..., q i ] Û d ( q 0 , x) = {q 1 , q 2 ,..., q i } ( 1 )

Với  x  = 0 , ta có x = ε và q 0 ’ = [q 0 ] nên (1) hiển nhiên đúng

Giả sử (1) đúng với các chuỗi nhập có độ dài tới m.

Xét chuỗi nhập có độ dài m + 1, đặt chuỗi này là xa với a ∈ Σ , ta có :

d ’( q 0 ’ , xa) = d ’( d ’( q 0 ’ , x), a)

Theo định nghĩa :

d ’([p 1 , p 2 ,..., p i ], a) = [r 1 , r 2 ,..., r k ] Û d ({p 1 , p 2 ,..., p j }, a) = {r 1 , r 2 ,..., r k }.

Mặt khác theo giả thiết quy nạp d ’( q 0 ’ , x) = [p 1 , p 2 ,..., p j ] Û d (q 0 , x) = {p 1 , p 2 ,..., p j }, nên thay vào ta có : d ’( q 0 ’ , xa) = [r 1 , r 2 ,..., r k ] Û d ( q 0 , xa) = {r 1 , r 2 ,..., r k }.

Dễ thấy rằng d ’( q 0 ’ , x) ∈ F' khi và chỉ khi d (q 0 , x) có chứa ít nhất một trạng thái ∈ F.

Vậy L(M) = L(M’)

Vì NFA và DFA chấp nhận cùng các tập hợp, nên ta sẽ không phân biệt chúng trừ khi điều đó thật sự cần thiết, sẽ đơn giản hơn để hiểu cả hai cùng là ôtômát đơn định.

Thí dụ 3.5 : Cho NFA M ({q₀, q₁}, {0, 1}, d, q₀, {q₁}) với hàm chuyển d như sau :

d(q₀, 0) = {q₀, q₁}, d(q₀,1) = {q₁}, d(q₁, 0) = ∅ size 12{ emptyset } {}, d(q₁, 1) = {q₀, q₁}

Ta xây dựng DFA tương đương M’ (Q’, {0, 1}, d’, [q₀], F’) chấp nhận L(M) như sau :

. Q’ : chứa tất cả các tập con của {q₀, q₁}, vậy Q’ = {[q₀], [q₁], [q₀, q₁], ∅ size 12{ emptyset } {}}

. Hàm chuyển d’ :

Vì d(q₀, 0) = {q₀, q­₁} nên d’([q₀], 0) = [q₀, q­₁]

Tương tự : d’([q₀], 1) = [q_­1]

d’([q_­1], 0) = ∅ size 12{ emptyset } {}

d’([q_­1], 1) = [q_­0, q_­1]

Mặt khác : d’( ∅ size 12{ emptyset } {}, 0) = d’( ∅ size 12{ emptyset } {}, 1) = ∅ size 12{ emptyset } {}

Cuối cùng : d’([q₀, q₁],0) = [q₀, q­₁]

( vì d({q₀, q₁},0) = d(q₀, 0) size 12{ union } {} d(q₁, 0) = {q₀, q­₁} size 12{ union } {}∅ size 12{ emptyset } {} = {q₀, q­₁})

d’([q₀, q₁], 1) = [q₀, q­₁]

( vì d({q₀, q₁},1) = d(q₀, 1) size 12{ union } {} d(q₁, 1) = {q­₁} size 12{ union } {} {q₀, q­₁} = {q₀, q­₁})

. Tập trạng thái kết thúc F' = {[q_­1], [q₀, q_­1]}

Thực tế, có rất nhiều trạng thái của NFA không có hàm chuyển đến từ trạng thái bắt đầu [q₀]. Do đó, thông thường, cách tốt nhất là ta nên xây dựng DFA tương đương bắt đầu từ trạng thái [q₀] và thêm vào các trạng thái mới cho DFA chỉ khi có các hàm chuyển từ một trạng thái đã được thêm vào trước đó.

NFA với ε-dịch chuyển (NFAε)

Ta mở rộng mô hình NFA cho phép các phép chuyển trên nhãn rỗng ε. Sơ đồ chuyển sau đây của một NFA chấp nhận chuỗi gồm một số bất kỳ (có thể là 0) chữ số 0 sau đó là một số bất kỳ chữ số 1 và sau nữa là một số bất kỳ chữ số 2. Thông thường, ta nói NFA chấp nhận một chuỗi w nếu có đường truyền nhãn w từ trạng thái bắt đầu đến một trạng thái kết thúc. Chẳng hạn, chuỗi 002 được chấp nhận bởi đường truyền q₀, q₀, q₀, q₁, q₂, q₂ với các cung nhãn 0, 0, ε, ε, 2.

Thí dụ 3.6 : Sơ đồ chuyển của một NFA với ε-dịch chuyển :

Hình 3.4 - NFA với ε-dịch chuyển

Định nghĩa: Một cách hình thức ta định nghĩa NFA với ε-dịch chuyển là bộ 5 thành phần (Q, Σ, δ, q₀, F) với tất cả các thành phần có ý nghĩa như trên, nhưng hàm chuyển δ là ánh xạ từ Q × (Σ size 12{ union } {} {ε}) → 2^Q.

Khái niệm δ(q, a) gồm tất cả các trạng thái p sao cho có phép chuyển nhãn a từ q tới p, trong đó a là một ký hiệu thuộc Σ hoặc là ε.

Hàm chuyển trạng thái mở rộng: Ta mở rộng hàm chuyển δ thành hàm chuyển δ^* ánh xạ từ Q × Σ^* → 2^Q. δ^*(q,w) chứa tất cả các trạng thái p sao cho có thể đi từ q tới p theo đường đi nhãn w (có thể chứa cạnh nhãn ε).

Ta sử dụng ε-CLOSURE(q) để xác định tập tất cả các đỉnh p sao cho có đường đi từ q tới p với nhãn ε.

Thí dụ 3.7 : Trong hình 3.4, ε-CLOSURE(q₀) = {q₀, q₁, q₂}.

Vì đường đi chỉ có một đỉnh q₀ (không có cung trên đường đi) là đường đi từ q₀ tới q₀ có tất cả các cạnh nhãn là ε. Đường đi q₀, q₁ chỉ ra rằng q₁ thuộc ε-CLOSURE(q₀). Và đường đi q₀, q₁, q₂ chỉ ra rằng q₂ thuộc ε-CLOSURE(q₀).

Đặt ε-CLOSURE(P) = q∈Pε-CLOSURE(q), trong đó P là một tập các trạng thái và q là một trạng thái. Ta định nghĩa hàm δ^* như sau:

1. δ^*(q, e) = e-CLOSURE(q)

2. δ^*(q, wa) = e-CLOSURE(P),

trong đó tập P = {p | có r trong δ^*(q, w) sao cho p ∈ δ(r, a)}, ∀w ∈ Σ^* và a ∈ Σ

Hay δ^*(q, wa) = e-CLOSURE(d(δ^*(q, w), a)

Ta mở rộng δ và δ^* trên tập hợp các trạng thái R như sau :

3. δ (R, a) = size 12{ union } {}_q∈R δ(q, a), và

4. δ^*(R, w) = size 12{ union } {}_q∈R δ^*(q, w)

Nhận xét : δ^*(q, a) và δ(q, a) không nhất thiết bằng nhau vì δ^*(q, a) gồm tất cả các trạng thái có thể chuyển đến được từ q trên nhãn a gồm cả đường đi nhãn e, trong khi đó d(q, a) chỉ gồm các trạng thái có thể đến được từ q chỉ bằng các cung nhãn a. Tương tự δ^*(q, e) có thể cũng không bằng δ(q, e). Vì vậy ta phải phân biệt ký hiệu δ và δ^* đối với NFA với e-dịch chuyển.

Ngôn ngữ được chấp nhận bởi NFA ε :

Ta định nghĩa L(M), ngôn ngữ được chấp nhận bởi NFAεM = (Q, Σ, δ, q₀, F) là tập hợp các chuỗi :

L(M) = {w | δ^*(q₀, w) có chứa ít nhất một trạng thái trong F}

Thí dụ 3.8 : Xét sơ đồ chuyển của hình 3.4.

Theo khái niệm hình thức, ta có NFA M ({q₀, q₁, q₂}, {0, 1, 2}, δ, q₀, {q₂}) với hàm chuyển δ như sau :

Xét chuỗi nhập w = 012.

Ta cần tính δ^*(q₀, 012)

Ta có : δ^*(q₀, e) = e-CLOSURE(q₀) = {q₀, q₁, q₂}

vậy δ^*(q₀, 0) = e-CLOSURE(δ(δ^*(q₀, e), 0)

Do δ^*(q₀, 012) có chứa trạng thái q₂ ∈ F nên chuỗi w ∈ L(M).

Giải thuật mô phỏng hoạt động của một NFA ε :

Sự tương đương giữa NFA có và không có e-dịch chuyển

Tương tự như NFA, khả năng có thể thực hiện phép chuyển trên nhãn e của NFAe cũng không làm cho NFAe chấp nhận được các tập hợp không chính quy. Ta có thể dẫn chứng điều này bằng cách mô phỏng hoạt động của một NFAe bởi một NFA không có e-dịch chuyển.

ĐỊNH LÝ 3.2 : Nếu L được chấp nhận bởi một NFA có e -dịch chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có e -dịch chuyển.

Chứng minh

Đặt M (Q, Σ, δ, q₀, F) là NFA với e-dịch chuyển.

Ta xây dựng NFA M’(Q, Σ, δ’, q₀, F’) tương đương không có e-dịch chuyển, trong đó:

F size 12{ union } {} {q₀} nếu e-CLOSURE(q₀) chứa một trạng thái thuộc F

. F’ =

F trong các trường hợp còn lại

. δ’(q, a) là δ^*(q, a) với q ∈ Q và a ∈ Σ. Chú ý rằng M’ không có e-dịch chuyển nên ta có thể dùng δ’ thay cho δ^*’, nhưng phải phân biệt δ và δ^*.

Ta chứng minh bằng quy nạp trên | x | rằng δ’(q0, x) = δ*(q0, x). Tuy nhiên, điều đó có thể không đúng với x = e vì δ’(q0, e) = {q0} trong khi δ*(q0, e) = e-CLOSURE(q0). Do đó, cơ sở quy nạp bắt đầu với độ dài chuỗi là 1.

Với | x | = 1 thì x là một ký hiệu a và δ ’ (q, a) = δ * (q, a) theo định nghĩa δ ’ .

Xét | x | > 1: đặt x = wa với a là một ký hiệu trong Σ .

Ta có δ ’ (q, wa) = δ ’ ( δ ’ (q 0 , w), a)

Theo giả thiết quy nạp thì δ ’ (q 0 , w) = δ * (q 0 , w). Đặt δ * (q 0 , w) = P, ta cần chỉ ra rằng δ (P, a) = δ * (q 0 , wa).

Ta có δ ’ (P, a) = size 12{ union } {} q ∈ P δ ’ (q, a) = size 12{ union } {} q ∈ P δ * (q, a).

Hơn nữa vì P = δ * (q 0 , w) nên size 12{ union } {} q ∈ P δ * (q, a) = δ * (q 0 , wa) ( theo quy tắc 2 trong định nghĩa δ * ).

Vậy δ ’(q 0 , wa) = δ * (q 0 , wa)

Để đầy đủ chứng minh ta còn phải chỉ ra rằng δ ’(q 0 , x) chứa một trạng thái trong F’ nếu và chỉ nếu δ * (q 0 , x) chứa một trạng thái trong F.

Nếu x = e thì điều đó hiển nhiên đúng (theo định nghĩa của F’)

Nếu x ≠ e thì ta đặt x = wa với a ∈ Σ .

Nếu δ * (q 0 , x) chứa một trạng thái trong F thì chắc chắn δ ’(q 0 , x) chứa cùng trạng thái trong F’. Ngược lại, nếu δ ’(q 0 , x) chứa một trạng thái trong F’ khác hơn q 0 thì δ (q 0 , x) phải chứa một trạng thái trong F (vì tập F và F’ chỉ chênh lệch nhau trạng thái q 0 ). Nếu δ ’(q 0 , x) có chứa trạng thái q 0 và q 0 cũng là một trạng thái thuộc tập trạng thái kết thúc F thì vì δ * (q 0 , x) = e -CLOSURE( δ ( δ * (q 0 , w),a)), nên trạng thái chung trong e -CLOSURE(q 0 ) và trong F phải ở trong δ * (q 0 , x).

Thí dụ 3.9 : Chuyển NFA với e-dịch chuyển ở hình 3.4 sang dạng NFA không có chứa e-dịch chuyển.

Ta xây dựng NFA tương đương M’(Q, Σ, δ’, q₀, F’) chấp nhận L(M) với các thành phần : . Q = {q₀, q₁, q₂}

. å = {0, 1, 2}

. Trạng thái bắt đầu : q₀

. F' = {q₀, q₂} do e-CLOSURE(q₀) = {q₀, q₁, q₂} có chứa q₂ ∈ F

. Hàm chuyển δ’ của M’ được xác định theo công thức :

d’(q, a) = d^*(q, a) = e-CLOSURE(d(d^*(q₀, e), a)

Kết quả được chỉ ra trong bảng hàm chuyển sau :

Sơ đồ chuyển trạng thái:

Hình 3.5 - NFA tương đương cho thí dụ 3.9

Giải thuật xây dựng DFA từ NFA

Qua khảo sát các dạng mở rộng từ mô hình ôtômát hữu hạn ban đầu, ta thấy DFA thực chất là một trường hợp đặc biệt của NFA, nhưng :

- Nó không có sự truyền rỗng (truyền trên nhãn e)

- Với mỗi trạng thái q và ký hiệu nhập a, chỉ có duy nhất một đường truyền đến một trạng thái khác.

Giả sử mỗi trạng thái của DFA là một tập trạng thái của NFA, DFA dùng trạng thái của mình để lưu giữ tất cả các trạng thái của NFA đạt được sau khi NFA đọc một ký tự nhập. Như vậy sau khi đọc các ký tự nhập a₁, a₂, ... , a_n, DFA ở trạng thái là tập con của các trạng thái thuộc NFA, đạt được khi NFA đi từ trạng thái bắt đầu theo một con đường nào đó có tên a₁a₂ ... a_n. Số trạng thái của DFA lúc đó phải bằng số phần tử trong tập lũy thừa của số trạng thái NFA. Song, trên thực tế trường hợp xấu nhất này ít khi xảy ra. Các trạng thái thực sự được dùng trong sơ đồ chuyển cho một DFA sẽ được xác định theo các phép chuyển trạng thái trên nhãn là mọi ký hiệu từ trạng thái bắt đẩu của DFA, và sau đó lần lượt được bổ sung thêm vào tập trạng thái nếu như nó chưa có trong đó.

Giải thuật chi tiết được trình bày như sau :

Input: Một ôtômát hữu hạn không đơn định NFA.

Output: Một ôtômát hữu hạn đơn định DFA nhận dạng cùng ngôn ngữ như NFA.

Phương pháp: Xây dựng bảng hàm chuyển cho DFA mô phỏng đồng thời tất cả các chuyển dịch của NFA trên chuỗi nhập cho trước.

Ta dùng các tác vụ sau để lưu giữ các tập trạng thái của NFA :

(q : là một trạng thái của NFA, T : là tập trạng thái của NFA)

a) e-closure(q) : là tập trạng thái của NFA đạt được từ trạng thái q trên sự truyền rỗng.

b) e-closure(T) : là tập trạng thái của NFA đạt được từ tất cả các trạng thái q thuộc tập T trên sự truyền rỗng.

c) d(T, a) : là tập trạng thái của NFA đạt được từ tất cả các trạng thái q thuộc tập T trên sự truyền bằng ký hiệu a.

Phân tích:

Trước khi đọc vào một ký tự nhập, DFA có thể ở một trạng thái bất kỳ trong các trạng thái thuộc e-closure(q₀) với q₀ là trạng thái bắt đầu của NFA. Gọi trạng thái này là T. Giả sử các trạng thái của T là các trạng thái đạt được từ q₀ trên các ký hiệu nhập và giả sử a là ký hiệu nhập kế tiếp. Khi đọc a, NFA có thể chuyển đến một trạng thái bất kỳ trong tập trạng thái d(T, a). Khi chúng ta cho phép sự truyền rỗng, NFA có thể ở bất kỳ trạng thái nào trong e-closure(d(T, a)) sau khi đã đọc a.

Giải thuật :

Ta xây dựng các trạng thái và bảng hàm chuyển cho DFA theo cách như sau :

- Mỗi trạng thái của DFA tượng trưng bởi một tập trạng thái của NFA mà NFA có thể chuyển đến sau khi đọc một chuỗi ký hiệu nhập gồm: tất cả sự truyền rỗng có thể xảy ra trước hoặc sau các ký hiệu được đọc.

- Trạng thái bắt đầu của DFA là e-closure(q₀)

- Các trạng thái và hàm chuyển sẽ được thêm vào D bằng giải thuật trên.

- Một trạng thái của DFA là trạng thái kết thúc nếu nó là tập các trạng thái của NFA chứa ít nhất một trạng thái kết thúc của NFA.

Việc tính toán e-closure(T) có thể xem như quá trình tìm kiếm một đồ thị của các nút từ các nút cho trước và đồ thị bao gồm toàn những cạnh có nhãn e của NFA. Giải thuật đơn giản để tìm e-closure(T) là dùng Stack để lưu giữ các trạng thái mà cạnh của chúng chưa được kiểm tra cho sự truyền rỗng.

Thí dụ 3.10 : Tạo DFA từ NFAe sau

Hình 3.6 – Thí dụ chuyển NFA có ε-dịch chuyển

Các bước xây dựng tập trạng thái cho DFA :

1. Trạng thái bắt đầu của DFA : ε-closure(0) = {0, 1, 2, 4, 7} = A*
2. ε-closure(δ(A, a)) = ε-closure({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} = B*
3. ε-closure(δ(A, b)) = ε-closure({5}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7} = C*
4. ε-closure(δ(B, a)) = ε-closure({3, 8}) = B
5. ε-closure(δ(B, b)) = ε-closure({5, 9}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9} = D*
6. ε-closure(δ(C, a)) = ε-closure({3, 8}) = B
7. ε-closure(δ(C, b)) = ε-closure({5}) = C
8. ε-closure(δ(D, a)) = ε-closure({3, 8}) = B
9. ε-closure(δ(D, b)) = ε-closure({5, 10}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10} = E*
10. ε-closure(δ(E, a)) = ε-closure({3, 8}) = B
11. ε-closure(δ(E, b)) = ε-closure({5}) = C

Từ các tập trạng thái này, ta xác định được A là trạng thái bắt đầu, E là trạng thái kết thúc (vì trong E có chứa trạng thái 10 là trạng thái kết thúc của NFA) và bảng hàm chuyển của DFA như sau :

Từ bảng hàm chuyển như trên, ta xây dựng sơ đồ chuyển trạng thái cho DFA tương đương nhận dạng cùng ngôn ngữ có dạng như sau :

Hình 3.7 – DFA tương đương cho thí dụ 3.10

Nhận xét : Mặc dù có sự khác nhau trong định nghĩa, ta thấy dạng không đơn định NFA được định nghĩa tổng quát hơn dạng đơn định DFA, nhưng rõ ràng khả năng nhận dạng cùng lớp ngôn ngữ của chúng là tương đương nhau. Trong thực tế, các máy tính số hoàn toàn là đơn định, trạng thái của chúng tại mỗi thời điểm là xác định được duy nhất từ một chuỗi nhập bất kỳ và trạng thái bắt đầu.

Một số gợi ý câu trả lời:

Trong một số các bài toán mang tính chọn lựa, có nhiều hướng giải quyết (nhiều cách đi) như trong các chương trình trò chơi (games) thì thông thường hướng giải quyết tốt nhất (cách đi tốt nhất) là không biết trước được, nhưng có thể tìm thấy được bằng cách sử dụng chiến lược tìm kiếm quay lui (back-tracking). Khi có một vài khả năng chọn lựa có thể, ta chọn một khả năng trong chúng và đi theo hướng đó cho đến khi xác định hướng đó là tốt nhất hay chưa. Nếu chưa phải là hướng tốt nhất, ta phải quay về điểm quyết định cuối cùng trước đó và thử khảo sát theo một hướng khác. Một giải thuật mô phỏng quá trình tìm kiếm quay lui này là một giải thuật không đơn định.

Không đơn định đôi khi còn rất hữu hiệu trong việc giúp giải quyết các bài toán dễ dàng. Chẳng hạn, trong một số bài toán thì việc xây dựng một NFA có vẻ tự nhiên và đơn giản hơn việc tìm một DFA cho chúng. Tương tự như vậy, không đơn định còn là một cơ chế hiệu quả dùng mô tả văn phạm sinh ra ngôn ngữ một cách súc tích (sự chọn lựa các luật sinh sinh từ cùng một biến).

Trong thực tế, một vài kết quả là dễ dàng được chứng minh đối với NFA hơn là DFA. Vì vậy việc cho phép cơ chế không đơn định thường làm đơn giản hóa các lý luận hình thức mà không ảnh hưởng đến tính tổng quát của kết luận.