Một nhà toán học vừa giải được bài toán 160 năm tuổi trị giá 1 triệu đô

Nhà toán học nổi tiếng Michael Atiyah tuyên bố rằng ông đã phát triển một bằng chứng chứng minh cho giả thuyết Riemann, một vấn đề toán học 160 tuổi trị giá 1 triệu đô.

Đây không phải lần đầu tiên nhà toán học này tuyên bố đã giải quyết được một vấn đề lớn trong toán học. Tuy nhiên, ông lại không bao giờ công khai các bằng chứng cho kết quả của mình.

Michael Atiyah, một nhà toán học đã giành được một số giải thưởng cao cấp trong lĩnh vực toán học, đã thuyết trình tại Diễn đàn Heidelberg Laureate ở Đức hôm thứ Hai để giải thích các bằng chứng của ông về giả thuyết Riemann. Giả thuyết này lần đầu tiên được Bernhard Riemann đặt ra vào năm 1859. Michael Atiyah cho rằng, các con số trả về một giá trị bằng không khi được sử dụng như một đối số cho một hàm nhất định - nhưng ông đã từ chối cung cấp các bằng chứng cho kết quả của mình.

Nhà toán học Michael Atiyah.

Như Atiyah đã chỉ ra trong cuộc nói chuyện của ông, giả thuyết của Riemann “đã được xác minh bằng số cho hàng triệu người và hàng triệu máy tính mà bạn có thể nghĩ đến, nhưng không có bằng chứng cụ thể”. Tuy nhiên, giả thuyết này có giá trị thực tế rất lớn đối với các nhà toán học bởi nó giải thích sự phân bố kỳ lạ của các số nguyên tố trong các phép tính toán học khác.

Nếu bằng chứng của Atiyah là chính xác, nó sẽ là một chấn động lớn đối với cộng đồng toán học bởi suốt 160 năm qua, bằng chứng cho giả thuyết Riemann đã trở thành một trong những vấn đề khó hiểu nhất trong toán học. Từ năm 2000, Viện Toán học Clay đã đề nghị một giải thưởng trị giá 1 triệu đô cho nhà toán học có thể công bố kết quả của mình về vấn đề này trong một tạp chí uy tín và đợi hai năm để các nhà toán học khác có thể phản đối. Mặc dù Atiyah đã chứng minh bằng chứng của mình vào thứ Hai, nhưng nó vẫn chưa được chấp nhận để xuất bản.

Atiyah nói trong bài giảng ở Heidelberg: “Giả thuyết Riemann đã được chứng minh, trừ khi bạn là loại người không tin vào bằng chứng của sự mâu thuẫn. Trong trường hợp đó, tôi phải trở về và suy nghĩ lại. Nhưng mọi người thường chấp nhận bằng chứng của sự mâu thuẫn, vì vậy tôi cho rằng tôi xứng đáng được nhận giải thưởng”.

Nhiều nhà toán học đã bày tỏ sự nghi ngờ về tính hợp lý của luận điểm và cho rằng Atiyah đưa ra các tuyên bố như vậy để tránh cho luận điểm của mình sụp đổ khi bị giám sát hoặc không được công bố.

Nếu bằng chứng của Atiyah không được chấp nhận thì đây cũng không phải là lần đầu tiên một nhà toán học tuyên bố đã bẻ khóa giả thuyết của Riemann và thất bại. Vào năm 2015, một giáo sư người Nigeria tên Opeyemi Enoch cũng tuyên bố đã cung cấp bằng chứng cho giả thuyết Riemann nhưng toàn bộ bằng chứng hóa ra lại là một sự giả mạo. Không giống như Enoch, Atiyah đã từng giành được cả Huy chương Fields và Giải Abel, giải thưởng có thể ví như Nobels dành cho các nhà toán học.

Theo Markus Pössel, một nhà thiên văn người Đức có mặt tại bài giảng của Atiyah, còn quá sớm để đưa ra phán quyết về việc liệu bằng chứng của Atiyah có đúng hay không.

Pössel cho biết: "Những người là chuyên gia trong lĩnh vực này vẫn chưa có đủ thông tin để đánh giá tuyên bố đó đúng. Cụ thể, Atiyah đã sử dụng một hàm số hiếm mà ông gọi là “hàm số Todd” sau một trong những giáo viên của mình. Tôi không rõ liệu hàm số đó có tồn tại trong tuyên bố của Atiyah hay không. Nhưng chắc chắn là hợp lý để thận trọng trong điều này”.

Giả thuyết Riemann là gì?

Năm 1859, nhà toán học Bernhard Riemann đã đưa ra một giả thuyết về thời điểm khi một hàm cụ thể trả về một giá trị bằng không. Giả thuyết có một số ứng dụng thực tế trong toán học, ví dụ như là một lời giải thích cho sự phân bố kỳ lạ của các số nguyên tố chỉ chia hết cho chính nó và một.

Giả thuyết của Riemann là về các giá trị được sử dụng trong hàm zeta, tạo ra một chuỗi số hội tụ hoặc phân kỳ tùy thuộc vào giá trị của s — được gọi là đối số của hàm — trong chuỗi sau:

Hàm zeta Riemann.

Cái nhìn sâu sắc của Riemann là hàm zeta cũng có thể được mở rộng đến những con số phức tạp, đó là sự kết hợp giữa các con số ảo và thực. (Giải thích nhanh: Số phức tạp là số có dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, i là đơn vị ảo, với i bằng căn bậc 2 của -1. Ví dụ 3 + 5i là một số phức tạp.)

Theo giải thích của Edward Frenkel trong một video trên Numberphile, nếu bạn đưa một số thực vào hàm zeta, chẳng hạn như “2” bạn sẽ nhận được chuỗi “1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + …”. Càng nhiều số được cộng thêm vào trình tự này càng làm chuỗi gần đúng với một tổng số nhất định được gọi là giới hạn. Nếu chuỗi tiếp cận giới hạn, thì nó được coi là một chuỗi hội tụ.

Mặt khác, nếu một số như “-1” được sử dụng làm đối số cho hàm zeta, nó trả về một chuỗi “1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …”. Loại chuỗi này không có giới hạn vì tổng các con số tiếp tục lớn hơn và được biết đến như một chuỗi phân kỳ.

Riemann lập luận rằng nếu một số phức được sử dụng làm đối số cho hàm zeta, điều này dẫn đến một chuỗi hội tụ. Khi các số xác định, ví dụ như số thực, được sử dụng làm đầu vào cho một hàm zeta mà đối số của nó là một số phức, nó trả về một giá trị bằng không.

Một số ví dụ đầu vào khá dễ dàng để khám phá. Ví dụ -2, -4 và -6 sẽ trả về không. Nhưng những gì Riemann đưa ra giả thuyết là nếu 1/2 được sử dụng làm số thực cho đối số phức tạp của hàm zeta, thì bất kỳ số ảo nào mà nó ghép cùng cũng sẽ trả về không. Do đó 1/2 + 1i, 1/2 + 2i, 1/2 + 3i, v.v. tất cả sẽ trả về không.

“Giá trị nào làm hàm zeta bằng 0?” Frenkel nói trong video Numberphile: "Đó là câu hỏi triệu đô la".

Bằng chứng mà Atiyah tuyên bố là trả lời cho câu hỏi này dựa vào một cái gì đó mà ông gọi là “hàm số Todd”, được đặt tên theo nhà toán học, giáo viên cũ của Atiyah là J.A. Todd. Như Pössel đã chỉ ra, tính mới lạ của hàm số này là nguồn gốc của sự hoài nghi của nhiều nhà toán học về bằng chứng của Atiyah.

Nếu Atiyah hy vọng sẽ nhận được giải thưởng trị giá 1 triệu đô vì giải quyết vấn đề thiên niên kỷ mà theo Viện Toán học Clay là một trong bảy đề toán khó nhất, thì “hàm số Todd” sẽ phải chịu sự giám sát chặt chẽ của các nhà toán học khác trong khoản hai năm tiếp theo.

Cho đến nay, chỉ có một trong bảy vấn đề thiên niên kỷ đã được giải quyết, mặc cho hàng chục giải pháp về các vấn đề khác nhau đã được đề xuất. Điều này nói lên sự khó khăn của các vấn đề trong tầm tay và tầm quan trọng của việc đánh giá ngang hàng trong toán học. Ngay cả khi bằng chứng của Atiyah cuối cùng đã bỏ lỡ dấu ấn, giải pháp của ông chắc chắn sẽ đi đầu trong một số nhà toán học xuất sắc nhất thế giới trong vài năm tới. đã chỉ ra, tính mới của chức năng này là nguồn gốc của sự hoài nghi của nhiều nhà toán học về bằng chứng của Atiyah.

Nếu Atiyah hy vọng sẽ nhận được giải thưởng trị giá 1 triệu đô la để giải quyết vấn đề thiên niên kỷ này, cái tên được đặt cho bảy vấn đề toán học khó nhất theo Viện Toán học Clay, thì chức năng Todd sẽ phải chịu sự giám sát chặt chẽ của các nhà toán học khác. hai năm.

Cho đến nay, chỉ có một trong bảy vấn đề thiên niên kỷ đã được giải quyết, mặc dù hàng chục giải pháp cho các vấn đề khác nhau đã được đề xuất. Điều này nói lên sự khó khăn của các vấn đề này và tầm quan trọng của việc đánh giá ngang hàng trong toán học. Ngay cả khi bằng chứng của Atiyah cuối cùng đã mất điểm, giải pháp của ông chắc chắn sẽ đi đầu trong số các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới trong vài năm tới.

• Những giả thuyết chưa được chứng minh về số nguyên tố