Ma trận (Matrices)

M A T RẬ N ( M atrice s )

G iớ i t h i ệ u m a trận v à ứ n g dụ n g c ủ a m a trận

Trong toán học, một matrậnlà bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là sốthực hoặc

số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột.

Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và biến đổi tuyến tính.

Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề),

lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...

Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều.

Ma trận thông dụng nhất là ma trận hai chiều. Tổng quát hóa của khái niệm ma trận hai chiều là ma trận khối. Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữ bằng các mảng nhiều chiều.

Rất nhiều ứng dụng của ma trận, bao gồm:

Solving systems of linear equations

Giải hệ phương trình tuyến tính

Trong đồ họa máy tính, Xử lý ảnh

Các mô hình trong kỹ nghệ và khoa học tính toán

Tính toán lượng tử, …

Ma trận có thể được xem như một hàm:

Một ma trận A= [ai,j] là các phần tử của tập Scó thể mã hóa thành một hàm

fA: ℕ×ℕ→S, sao cho i<m, j<n, fA(i, j) = ai,j.

M ô t ả

Các dòng ngang của ma trận gọi là hàngvà các cột thẳng đứng là cột. Hình dạng ma

trận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận). k phầntử.Matrận

th ư ờ ng đ ư ợ c viết t h à n h b ảng kẹp gi ữ a 2 dấu ngoặc vuông "[ " v à " ] " (h o ặc, hiếm h ơ n, d ấu ngoặc " (" v à " ) " ). T hí dụ:

C ác p h é p toán t r ên m a t r ận

Phép c ộng m a t r ận

Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước mx n. Cho các ma trận cấp mx n A và B, tổngA + B là ma trận cùng cấp mx n nhận được do cộng các phần tử tương ứng (nghiã là

). Chẳng hạn:

Phép nhân m a t r ận v ớ i m ột s ố

Cho ma trận Avà số c, tíchcAđược tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A

với số c(nghĩa là ). Chẳng hạn:

Phép nhân m a t r ận

Phépnhânhai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận Acó kích thước mx n và ma trận Bcó kích thước nx p, thì matrậntíchABcó kích thước mxpxác định bởi:

với mọi cặp (i,j).

Chẳng hạn:

Phép nhân ma trận có các tính chất sau:

 (AB)C= A(BC) với mọi ma trận cấp kxmA, ma trận mx nBvà ma trận nxp

C("kết hợp").

 (A+ B)C= AC+ BCvới mọi ma trận cấp mxncác ma trận Avà Bvà ma trận cấp nx kC("phân phối bên phải").

 C(A+ B) = CA+ CB("phân phối bên trái").

Rất chú ý rằng phếp nhân ma trận không giao hoán.

6 . 3 . 3 C ác l o ại m a trận đ ặc b iệt

M a t r ận tam giác

Matrậntamgiáclà ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên (hoặc tất cả các phần tử nằm dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy ta có ai,j=0 với mọi i<j hoặc với mọi i>j.

M a t r ận chéo

Matrậnchéolà ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường

chéo chính bằng 0, nghĩa là ai,j=0 với mọi i ≠ j.

M a t r ận đ ơ n v ị

Matrậnđơnvịtrên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên một đường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì là số 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thường thì là số 0).

Thí dụ:

Ma trận đối xứn

Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo

chính bằng nhau aịj = aji.

Ma trận chuyển vị: A=[aij] là ma trận m×n, chuyển vị của A(viết là At hay AT) là ma trận n×m với At = B= [bij] = [aji] (1≤i≤n,1≤j≤m)

(đổi hàng thành cột và ngược lại).

Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT

.A = U = A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực).

M a t r ận không

Matrậnkhônglà ma trận có các phân tử đều bằng không.