Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số

- Vectơ chỉ phương (viết tắt là VTCP) của đường thẳng Δ là vectơ u→ khác vectơ – không và có giá song song hoặc trung với Δ.

- Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có cectơ chỉ phương u→(a;b) (với a² + b² ≠ 0) là

- Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có hệ số góc là k là y=k(x-x₀)+y₀.

- Nếu Δ có vectơ chỉ phương là u→(a;b) với a ≠ 0 thì hệ số góc của Δ là k=b/a. Ngược lại, nếu Δ có hệ số góc là k thì Δ có vectơ chỉ phương là u→(1;k).

2. Phương trình tổng quát

- Vectơ pháp tuyến (viết tắt VTPT) của đường thẳng Δ là vectơ n→ khác vectơ – không và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Nếu u→(x;y) là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì n→(-y;x) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua M₀(x₀;y₀) có vectơ pháp tuyến là n→(a;b) (với a² + b² ≠0) là: a(x-x₀)+b(y-y₀)=0

- Đường thẳng Δ cắt Ox, Oy tại các điểm khác gốc tọa độ là A(a; 0), B(0; b) có phương trình theo đoạn chắn là

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Cho hai đường thẳng d₁:a₁x + b₁y + c₁=0 và d₂:a₂x + b₂y + c₂ = 0. Số giao điểm của hai đường thẳng là số nghiệm của hệ phương trình

- Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi d₁ song song với d₂

- Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi d₁ cắt d₂

- Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi d₁ trùng d₂

+ Đặc biệt khi a₂b₂c₂ ≠ 0 thì:

4. Góc giữa hai đường thẳng

- Hai đường thẳng d₁,d₂ lần lượt có vectơ pháp tuyến là n₁→=(a₁; b₁ ),n₂→=(a₂; b₂ ). Khi đó góc của hai đường thẳng được xác định bởi công thức

- Nếu đường thẳng d₁,d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương u₁→,u₂→ thì ta cũng có cos⁡(d₁,d₂ )=|cos⁡(u₁→,u₂→ ) |

- Nếu đường thẳng d₁,d₂ lần lượt có hệ số góc là k₁; k₂ thì ta có

5. Khoản cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Khoảng cách từ điểm M₀(x₀;y₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 là

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁:ax+by+c=0 và d₂:ax+by+d=0 (trong đó c ≠ d) là

- Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng lần lượt xác định bởi ax + byy + c > 0 và ax + by + c < 0.

- Phương trinh hai phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d₁:a₁x+b₁y+c₁=0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂=0 là