Lý thuyết hỗn loạn
Những hệ thống có biểu hiện hỗn loạn toán học là những hệ tất định (triết học) và do đó, có trật tự theo nghĩa nào đó; do vậy sử dụng từ hỗn loạn là không phù hợp. Khi ta nói thuyết hỗn mang nghiên cứu các hệ xác định, cần phải nói tới một ngành liên quan ...
Những hệ thống có biểu hiện hỗn loạn toán học là những hệ tất định (triết học) và do đó, có trật tự theo nghĩa nào đó; do vậy sử dụng từ hỗn loạn là không phù hợp. Khi ta nói thuyết hỗn mang nghiên cứu các hệ xác định, cần phải nói tới một ngành liên quan của vật lý gọi là thuyết hỗn mang lượng tử nghiên cứu các hệ bất định đi theo các quy luật của vật lý lượng tử.
Hàm Weierstrass, một loại hình phân dạng mô tả một chuyển động hỗn loạn
Quỹ đạo của hệ Lorenz cho các giá trị r = 28, σ = 10, b = 8/3
Một hệ động lực phi tuyến có thể, nói chung, biểu hiện một trong nhưng kiểu hành xử sau đây:
- luôn luôn ở trạng thái nghỉ.
- luôn luôn mở rộng (chỉ cho những hệ không bị chặn).
- chuyển động tuần hoàn.
- chuyển động giả tuần hoàn.
- chuyển động hỗn loạn.
Kiểu hành xử mà hệ thống có thể có phụ thuộc vào trạng thái ban đầu của hệ và các giá trị của các tham số, nếu có. Kiểu hành xử khó phân loại và dự đoán là chuyển động hỗn loạn, một chuyển động phức tạp không tuần hoàn mà do đó có tên của lý thuyết này.
Sự vận động hỗn loạn
Để phân loại hành vi của một hệ là hỗn loạn, hệ đó phải thể hiện những tính chất sau đây:
- phải nhạy với điều kiện ban đầu.
- phải hòa lẫn nhau theo nghĩa topo.
- quỹ đạo của nó phải trù mật.
Sự nhạy cảm với các điều kiện ban đầu nghĩa là hai điểm trong một hệ như vậy có thể di chuyển trên những quỹ đạo hoàn toàn khác biệt nhau trong không gian pha của chúng ngay cả nếu như sự khác nhau trong cấu hình ban đầu của chúng là rất nhỏ. Hệ này hành xử hoàn toàn giống nhau nếu như cấu hình ban đầu của chúng là giống nhau một cách chính xác. Một ví dụ về độ nhạy cảm như vậy là hiện tượng gọi là "hiệu ứng bướm", khi mà vẫy cánh của một con bướm được tưởng tượng là tạo ra những thay đổi nhỏ trong khí quyển mà sau một quãng thời gian đủ lớn sẽ tạo nên những thay đổi lớn như là một cơn bão có thể xảy ra. Cái vẫy cánh của con bướm biểu diễn một thay đổi nhỏ trong trạng thái ban đầu của hệ tạo ra một chuỗi các sự kiện để dẫn đến những hiện tượng ở phạm vi rộng lớn hơn như là một cơn bão. Nếu như một con bướm đã không vẫy cánh, quỹ đạo của hệ có thể rất khác xa. Các ví dụ phổ biến khác của các chuyển động hỗn loạn là sự pha trộn của thuốc nhuộm và các dòng khí chuyển động hỗn loạn.
Sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu liên quan đến hàm mũ Lyapunov.
Hòa lẫn nhau nghĩa là khi ta áp dụng phép biến đổi lên bất kì một đoạn bất kì I1 sẽ làm nó mở rộng ra cho đến khi đó chồng lên với một đoạn cho trước bất kì I2.
Tính hòa lẫn nhau, các điểm tuần hoàn trù mật, và sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu có thể mở rộng ra bất kì không gian metric nào.
Vùng thu hút
Một cách để nhìn thấy các chuyển đổng hỗn loạn, hay bất kì một thứ chuyển động nào, là vẽ sơ đồ pha của chuyển động đó. Trong một sơ đồ như vậy thời gian không được biểu diễn và mỗi trục đại diện cho một chiều của trạng thái. Chẳng hạn, ta có thể vẽ vị trí của một con lắc so với vận tốc của nó. Con lắc ở điểm dừng sẽ được vẽ bằng 1 điểm và một con lắc tuần hoàn lắc lư qua lại sẽ được vẽ bằng một đường cong khép kín. Khi một sơ đồ làm thành một đường cong khép kín, đường cong đó được gọi là một quỹ đạo. Con lắc của chúng ta có vô số quỹ đạo, tạo thành một vết các hình ellip lồng vào nhau xung quanh gốc tọa độ.
Thông thường thì các sơ đồ pha sẽ cho thấy rằng đa số các quỹ đạo trạng thái sẽ quấn quanh và tiến đến một giới hạn chung nào đó. Hệ thống này cuối cùng sẽ có một chuyển động giống nhau cho tất cả các trạng thái ban đầu trong một vùng xung quanh chuyển động, như thể như là hệ thống bị hút vào đó. Một chuyển động thu hút như vậy được gọi là một vùng thu hút của hệ thống và rất phổ biến cho các hệ thống có lực tiêu tán dần.
