Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ Đề-các trong không gian.

1. Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc (O), đôi một vuông góc với nhau (x'Ox ; y'Oy ; z'Oz). Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc (Oxyz); (O) là gốc tọa tọa độ. Giả sử (overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục (x'Ox, y'Oy, z'Oz) (h. 52)

Với điểm (M) thuộc không gian (Oxyz) thì tồn tại duy nhất bộ số ((x ; y ; z)) để

(overrightarrow{OM}= x.overrightarrow{i}+y.overrightarrow{j}+z.overrightarrow{k}),

bộ ((x ; y ; z)) được gọi là tọa độ của điểm (M(x ; y ; z)).

Trong không gian Oxyz cho vectơ (overrightarrow{a}), khi đó (overrightarrow{a}= a_{1}overrightarrow{i}+a_{2}overrightarrow{j}+a_{3}overrightarrow{k})

Ta viết (overrightarrow{a})(a₁ ; a₂ ; a₃) và nói (overrightarrow{a}) có các tọa độ (a₁ ; a₂ ; a₃) .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử (overrightarrow{a})= (a₁ ; a₂ ; a₃) và (overrightarrow{b}) = (b₁ ; b₂ ; b₃), thì:

(overrightarrow{a}) + (overrightarrow{b}) = (a₁ + b₁ ; a₂ + b₂ ; a₃ + b₃ ).

(overrightarrow{a}) - (overrightarrow{b}) = (a₁ - b₁ ; a₂ - b₂ ; a₃ - b₃ ).

 k.(overrightarrow{a}) = (ka₁ ; k a₂ ; ka₃).

3. Tích vô hướng.

Cho (overrightarrow{a})(a₁ ; a₂ ; a₃) và (overrightarrow{b})(b₁ ; b₂ ; b₃) thì tích vô hướng

 (overrightarrow{a}).(overrightarrow{b}) = a­₁.b₁ + a₂.b₂ + a₃.b_3.

Ta có: (|overrightarrow{a}|=sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.)

Đặt (varphi =left (widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}} ight )) , 0 ≤ (varphi) ≤ 180⁰  thì (cosvarphi =frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} }{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}})     (với (overrightarrow{a}) ≠ (overrightarrow{0}), (overrightarrow{b})≠ (overrightarrow{0}))

4. Phương trình mặt cầu.

Trong không gian (Oxyz), mặt cầu ((S) ) tâm (I(a ; b ; c)) bán kính (r) có phương trình:

                              (x - a)² + (y – b)² + (z – c)² = r^2.