Logic mệnh đề (propositional logic)

Những khái niệm cơ bản

Các đối tượng cơ bản mà chúng ta khảo sát ở đây là các phát biểu hay các mệnh đề.

Trong lôgic toán, một phân ngành lôgic học, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.

Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lí của nó, được quy định như sau: Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1. Mệnh đề có giá trị chân lí 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 là mệnh đề sai.

Kí hiệu:

 Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c,... để kí hiệu cho các mệnh đề.

 Nếu mệnh đề a có giá trị chân lí là 1 thì ta kí hiệu G(a) = 1; nếu mệnh đề a có giá trị chân lí là 0 thì ta kí hiệu là G(a) = 0.

Chẳng hạn, để kí hiệu a là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ viết:

 a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" hoặc

 a : "Paris là thủ đô của nước Pháp".

Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1. Chú ý:

1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn:

 Sáng nay bạn An đi học.

 Trời mưa.

 Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.

2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:

 Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có

mệnh đề nào không đúng cũng không sai.

 Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.

3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng

biết "chắc chắc" nó nhận một giá trị. Chẳng hạn:

 Trên sao Hỏa có sự sống.

Mệnh đề và câu

Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh đề. Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai".

Ví dụ:

9. Các câu sau:

"Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?"

"Bao giờ lớp mình đi tham quan Đền Hùng?" "Ôi! ngôi nhà mới đẹp làm sao!"

"Tất cả hãy anh dũng tiến lên!"

đều không phải là mệnh đề.

Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không

phải là mệnh đề.

Mệnh đề lôgic và mệnh đề mờ

Nếu như trong Lôgic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lí

0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng lôgic mờ, mà ở đó giá trị chân lí của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lí 0 là sai, có giá trị chân lí 1 là đúng. Còn giá trị chân lí nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lí.

C ác p h é p toán l ô gic cơ b ả n

Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia,...) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng các phép lôgic tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép toán này.

Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và sai khi a đúng.

Ví dụ 1:

Bảng giá trị chân lí của phép phủ định

a a

1 0

0 1

Nếu a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định có thể diễn đạt như

sau:

 a= "Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp"

 hoặc a= "Paris không phải là thủ đô của nước Pháp".

Ở đây G(a) = 1 còn G( a) = 0. Ví dụ 2:

Nếu b = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định bcó thể diễn đạt như sau:

 b= "Không phải 15 lớn hơn 30"

 hoặc b= "15 không lớn hơn 30"

 hoặc b= "15 nhỏ hơn 30"

Ở đây G(b) = 0 còn G( b) = 1. Ví dụ 3:

Nếu c = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định ccó thể diễn đạt như sau:

c= "Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ".

Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định csẽ sai (hoặc đúng).

Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là "không phải a".

Phép hội

Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, kí hiệu a Λ b (hoặc a.b), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.

Bảng giá trị chân lí của phép hội

a b a Λ b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,... hoặc dùng dấu phảy hoặc không dùng liên từ gì.

Ví dụ 1:

"Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là hội của hai mệnh đề a = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và b = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0.

Ví dụ 2:

"Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề a = "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước" và b = "Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô". Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1.

Ví dụ 3:

 "Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3".

 "Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh".

 "ABC là tam giác vuông cân" là hội của của hai mệnh đề a = "ABC là tam giác vuông" và b = "ABC là tam giác cân".

 "Không những trời nắng to mà còn gió tây".

 "Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa".

Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của mệnh đề

hội. Chẳng hạn:

 "Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên".

 "Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10".

Phép tuyển

Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, kí hiệu là a ν b (hoặc

a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.

Bảng giá trị chân lí của phép tuyển

a b a ν b

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ.

Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b đúng.

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệ nh đề đó bởi

liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại).

Ví dụ 1:

"Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a = "Tháng 12 có

31 ngày" và b = "2 + 2 = 4".

Ở đây G(a ν b) = 1.

Ví dụ 2:

 "3 nhỏ hơn hoặc bằng 4" ← là mệnh đề đúng

 "Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9" ← là mệnh đề đúng

 "20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3" ← là mệnh đề sai

Chú ý: Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa "loại trừ" và

"không loại trừ".

 Phép tuyển "hoặc a hoặc b" là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng

không thể cả a lẫn b.

 Phép tuyển "a hoặc b" là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể

cả a lẫn b.

Chẳng hạn:

 "Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ" ← là phép tuyển không

loại trừ.

 "20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2" ← là phép tuyển loại trừ.

Phép kéo theo

a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng

trong các trường hợp còn lại.

Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo

a b a →b

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau,

chẳng hạn: "Nếu a thì b" "Có b khi có a" "Từ a suy ra b"

"a là điều kiện đủ để có b"

"b là điều kiện cần (ắt có) để có a"

.............. Ví dụ:

 "15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5" ← mệnh đề đúng.