Lời giải phương trình vi phân bậc hai
Dạng tổng quát của phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số là hằng số Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình (5.3) Các loại tần số tự nhiên ...
Dạng tổng quát của phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số là hằng số
Đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình (5.3)
Các loại tần số tự nhiên
Thí dụ 5.2
Xác định đáp ứng tự nhiên vn trong mạch (H 5.3)
Kết quả ứng với vài giá trị cụ thể của điện trở R:
β R=6Ω, s1,2= -2, -5 ⇒ vn=A1e-2t+A2e-5t
β R=5Ω, s1,2= -3, -3 ⇒ vn=(A1+A2t)e-3t
β R=1Ω, s1,2= -1± j2 ⇒ vn=e-t(B1cos2t+B2sin2t)
Thí dụ 5.3
Xác định dòng i(t) trong mạch (H 5.4). Cho vg = 1 V là nguồn DC
Trường hợp tổng quát
Đáp ứng ép của một mạch bậc 2 phải thỏa phương trình (5.4). Có nhiều phương pháp để xác định đáp ứng ép; ở đây ta dùng phương pháp dự đoán lời giải: Trong lúc giải phương trình cho các mạch bậc 1, ta đã thấy đáp ứng ép thường có dạng của hàm kích thích, điều này cũng đúng cho trường hợp mạch điện có bậc cao hơn, nghĩa là, nếu hàm kích thích là một hằng số thì đáp ứng ép cũng là hằng số, nếu hàm kích thích là một hàm mũ thì đáp ứng ép cũng là hàm mũ. . ..
Đáp ứng ép khi kích thích ở tần số tự nhiên
Phương trình mạch điện có dạng
Trường hợp kích thích có tần số trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng
Phương trình mạch điện có dạng:
Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 là tổng của đáp ứng ép và đáp ứng tự nhiên, trong đó có chứa 2 hằng số tích phân, được xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là các giá trị của y(t) và dy(t)/dt ở thời điểm t=0.
Thí dụ 5.4
Xác định v khi t>0 của mạch (H 5.6). Cho vg=5cos2000t (V) và mạch không tích trữ năng lượng ban đầu.
Xác định A và B
Lấy đạo hàm (8) thay vào (5):
Có thể nói các điều kiện ban đầu và điều kiện cuối của mạch bậc 2 không khác gì so với mạch bậc 1. Tuy nhiên vì phải xác định 2 hằng số tích phân nên chúng ta cần phải có 2 giá trị đầu; 2 giá trị này thường được xác định bởi y(0+) và dy(0+)/dt.
* y(0+) được xác định giống như ở chương 4, nghĩa là dựa vào tính chất hiệu thế 2 đầu tụ hoặc dòng điện qua cuộn dây không thay đổi tức thời.
* dy(0+)/dt thường được xác định bởi dòng điện qua tụ và hiệu thế 2 đầu cuộn dây vì:
Thí dụ 5.5
Thí dụ 5.6
Xác định i1(0+), i2(0+)
Từ mạch tương đương ở t=0+ (H 5.8b)
Thí dụ 5.7
Trở lại thí dụ 5.3 dùng điều kiện đầu để xác định A1 và A2 trong kết quả của
Thí dụ 5.8
Khóa K trong mạch (H 5.9a) đóng khá lâu để mạch đạt trạng thái thường trực. Mở khóa K tại thời điểm t=0, Tính vK, hiệu thế ngang qua khóa K tại t=0+
Kết quả cho thấy: Do sự có mặt của cuộn dây trong mạch nên ngay khi mở khóa K, một hiệu thế rất lớn phát sinh giữa 2 đầu khóa K, có thể tạo ra tia lửa điện. Để giảm hiệu thế này ta phải mắc song song với cuộn dây một điện trở đủ nhỏ, trong thực tế, người ta thường mắc một Diod.
