giới thiệu về hàm

G I Ớ I T H I ỆU VỀ HÀ M

Đ ị n h n g h ĩa v à sự t h ể h i ệ n b ằ n g đ ồ t h ị

Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một qui tắc tuơng ứng áp dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều là tập hợp số.

Ví dụ một hàm số f xác định trên tập hợp số thực R được miêu tả bằng biểu thức:y =

x2 - 5 sẽ cho tương ứng mỗi số thực x với một số thực y duy nhất nhận giá trị là x2

- 5, như vậy 3 sẽ tương ứng với 4. Khi hàm f đã được xác định, ta có thể viết f(3) =

4.

Đôi khi chữ hàm được dùng như cách gọi tắt thay cho hàm số. Tuy nhiên trong các trường hợp sử dụng khác, hàm mang ý nghĩa tổng quát của ánh xạ, như trong lý thuyết hàm. Các hàm hay ánh xạ tổng quát có thể là liên hệ giữa các tập hợp không phải là tập số. Ví dụ có thể định nghĩa một hàm là qui tắc cho tương ứng mỗi hãng xe với tên quốc gia xuất xứ của nó, chẳng hạn có thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật.

Định nghĩa

Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một qui tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.

Ký hiệu

Với:

hoặc hoặc

Tập X gọi là miền xác định.

Tập Y gọi là miền giá trị.

x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.

y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.

f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.

C ác d ạ n g c ủ a h à m s ố

Đơn ánh, song ánh, toàn ánh

Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả

hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.

Đơn ánh

Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị

khác nhau.

Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi x1 và x2 thuộc X và nếu x1 ≠ x2 thì f(x1) ≠ f(x2).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với

trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm

Toàn ánh

Hàm số f đươc gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y thuộc Y ta luôn tìm đươc ít nhất một số x thuộc X sao cho f(x) = y. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử y thuộc Y đều là tạo ảnh của ít nhất một mẫu x thuộc X qua ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

cũng tức là

Đồ thị hàm y = f(x) cắt đường thẳng y = y0 y0

Song ánh

Một hàm số vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh được gọi là song ánh.

1 2 3

1- Đơn ánh nhưng không phải toàn ánh

2- Toàn ánh nhưng không phải đơn ánh

3- Vừa đơn ánh vừa toàn ánh (= song ánh)

Hàm hợp

Cho các hàm số:

trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của f1 và f2 là hàm số:

được định nghĩa bởi:

Có thể ký hiệu hàm hợp là:

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp f2(f1(x)), trong đó f2(y) = sin(y),

f1(x) = (x2 +1).

Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có

thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn.

Hàm ngược

Cho hàm số song ánh:

trong đó X, Y là tập hợp số nói chung. Khi đó mổi phần tử y = f(x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được kí hiệu là:

Nếu f-1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f-1(x) và ngược lại.

M ột s ố ví d ụ về h à m

• Một mệnh đề có thể được xem như một hàm từ một tình huống nào đó và

bảng chân lý {T,F}

– Một hệ thống logic là một lý thuyết tình huống

– p=“It is raining.”; s= our situation here,now

– p(s)∈{T,F}.

• Một phép toán trên mện đề có thể xem như một hàm từ tập có thứ tự của các

giá trị chân lý tới các giá trị chân lý: ∨((F,T)) = T.

• Một vị từ có thể xem như một hàm của các đối tượng tới các mệnh đề (hay là các giá trị chân lý) P :≡ “is 7 feet tall”; P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False.

• Một chuỗi bit B độ dái n là một hàm từ các số {1,…,n}

(vị trí bit) tới {0,1}.

• E.g., B=101  B(3)=1.

• Một tập S xác định trong tập vũ trụ U có thể xem như một hàm từ các phần tử của U tới {T, F}, để cho chúng ta biết rằng mỗi phần tử U trong S hay không. S={3}; S(0)=F, S(3)=T.

• Một thao tác trên tập như ,, có thể xem như một hàm từ một cặp các

tập tới các tập.

– Ví dụ: (({1,3},{3,4})) = {3}