Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân

Toán 12 - Tích phân

Để giúp các bạn học sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân, với nội dung được cập nhật chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 12 bài 2

Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 

Tính các tích phân sau:

a) ¹∫₀(y³+3y²−2)dy

b)⁴∫₁(t+1/√t−1/t²)dt

c) ^π/2∫₀(2cosx−sin2x)dx

d) ¹∫₀(3^s−2^s)²ds

e) ^π/3∫₀cos3xdx+^3π/2∫_π/3cos3xdx+^5π/2∫_3π/2cos3xdx

g)³∫₀|x²−x−2|dx

h) ^5π/4∫_πsinx−cosx/√1+sin2xdx

i) ⁴∫₀4x−1√2x+1+2dx

Hướng dẫn làm bài

a) −3/4

b) 35/4

c) 1

d) 4/ln3−10/ln6+3/2ln2

e) −1/3

g) 31/6

=²∫₀−(x²−x−2)dx+³∫₂(x²−x−2)dx

h) 1/2ln2

HD: ^5π/4∫_πsinx−cosx/√1+sin2xdx

=^5π/4∫_πsinx−cosx/|sinx+cosx|dx=^5π/4∫_πd(sinx+cosx)/sinx+cosx

i) 34/3+10ln3/5

HD: Đặt t=√2x+1

Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) ²∫₁x(1−x)⁵dx (đặt t = 1 – x)

b) ^ln2∫₀√e^x−1dx (đặt t=√ex−1t=ex−1)

c) ⁹∫₁xdx (đặt )

d) ¹∫₋₁2x+1/√x²+x+1dx (đặt u=√x²+x+1)

e) ²∫₁√1+x²/x⁴dx (đặt t=1x)

g) ^π∫₀xsinx/1+cos²xdx (đặt x=π−t)

h) ¹∫₋₁x²(1−x³)⁴dx

i) ¹∫₀dx/1+x² (đặt x=tanu)

Hướng dẫn làm bài

a) −13/42

b) 2−π/2

c) −468/7

d) 2(√3−1)

e) −1/3(5√5/8−2√2)

g) π²/4

HD: Đặt x=π−t, ta suy ra:

^π∫₀xsinx/1+cos²xdx=π/2^π∫₀sinx/1+cos²xdx=π/2^π∫₀−d(cosx)/1+cos²x

Vậy ^π∫₀xsinx/1+cos²xdx=π/2¹∫₋₁dt/1+t²

Đặt tiếp t = tan u

h) 2⁵/15

HD: Đặt t = 1 – x³

i) π/4

Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

a) ^π/2∫₀xcos2xdx

b) ^ln2∫₀xe^−2xdx

c) ¹∫₀ln(2x+1)dx

d) ³∫₂[ln(x−1)−ln(x+1)]dx

e) ²∫₁₂(1+x−1/x)e^x+1/xdx

g) ^π/2∫₀xcosxsin²xdx

h) ¹∫₀x^ex/(1+x)²dx

i) ^e∫₁1+xlnx/x.e^xdx

Hướng dẫn làm bài

a) −1/2

b) 1/4(3/4−ln2/2)

c) 3/2ln3−1

d) 3ln3−6ln2

e) 3/2e^5/2

HD: ²∫_1/2(1+x−1/x)e^x+1/xdx=²∫_1/2e^x+1/xdx+²∫_1/2(x−1/x)e^x+1/xdx

Tính tích phân từng phần: ²∫_1/2e^x+1/xdx=xe^x+1/x∣²_1/2−²∫_1/2(x−1/x)e^x+1/xdx

g) π/6−2/9

HD: Đặt u=x,dv=cosxsin²xdx

h) e/2−1. HD: ¹∫₀xe^x/(1+x)²dx=¹∫₀e^x/1+x.dx−¹∫₀e^x/(1+x)²dx và tính tích phân từng phần:

¹∫₀xe^x/(1+x)²dx=−e^x/1+x∣¹₀+¹∫₀e^x/1+xdx

i) e^e. HD: Tương tự câu g)

Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau đây:

a) ^π/2∫₀(x+1)cos(x+π/2)dx

b) ¹∫₀x²+x+1/x+1log₂(x+1)dx

c) ¹∫_1/2x²−1/x⁴+1dx (đặt t=x+1/x)

d)^π/2∫₀sin2xdx/3+4sinx−cos2x

Hướng dẫn làm bài

a) – 2

b) 1/2ln2(1/2+ln²2). HD:x²+x+1/x+1.log₂₍x+1)=1/ln2[xln(x+1)+ln(x+1)/x+1]

c)1/2√2.ln.6−√2/6+√2. HD: Đặt t=x+1/xnta nhận được:

²∫_5/2dt/t²−2=1/2√2.ln.|t−√2/t+√2∣ |²_5/2=1/2√2.ln.6−√2/6+√2

d) ln2−1/2. HD: ^π/2∫₀sin2xdx/3+4sinx−cos2x=^π/2∫₀sinx.d(sinx+1)/(sinx+1)²=ln2−1/2

Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng: lim_x→+∞¹∫₀xⁿsinπxdx=0

Hướng dẫn làm bài

Với x∈[0;1], ta có 0≤xⁿsinπx≤xⁿ. Do đó:

0≤¹∫₀xⁿsinπxdx≤^1∫₀xⁿdx=1/n+1

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.

Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x)=^x∫₀t/√1+t⁴dt,x∈R là hàm số chẵn.

Hướng dẫn làm bài

Đặt t = - s trong tích phân: f(−x)=^−x∫₀t/√1+t⁴dt, ta được:f(−x)=^−x∫₀t/√1+t⁴dt=^x∫₀s/√1+s⁴ds=f(x)

Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

^a∫_−af(x)dx= 2^a∫₀f(x)dx,(1);0,(2)

(1): nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: ²∫₋₂ln(x+√1+x²)dx

Hướng dẫn làm bài

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

^a∫_−af(x)dx=⁰∫_−af(x)dx+^a∫₀f(x)dx

Đổi biến x = - t đối với tích phân ⁰∫_−af(x)dx, ta được:

⁰∫_−af(x)dx=⁻⁰∫_af(−t)dt=^a∫_0f(t)dt=^a∫₀f(x)dx

Vậy ^a∫_−af(x)dx=2^a∫₀f(x)dx

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

Vì g(x)=ln(x+√1+x²) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên ²∫₋₂g(x)dx=0

Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: ^π/2∫₀f(sinx)dx=^π/2∫₀f(cosx)dx

Hướng dẫn làm bài

Đổi biến số: x=π/2−t, ta được:

^π/2∫₀f(sinx)dx=−⁰∫_π/2f(sin(π/2−t))dt=^π/2∫₀f(cost)dt

Hay ^π/2∫₀f(sinx)dx=^π/2∫₀f(cosx)dx

Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Đặt I_n=^π/2∫₀sinⁿxdx,n∈N∗

a) Chứng minh rằng I_n=n−1/n.I_n−2,n>2

b) Tính I₃ và I₅.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có: I_n=^π/2∫₀sinⁿ⁻¹x.sinxdx

Dùng tích phân từng phần ta có:

I_n=^π/2∫₀sinⁿ⁻¹xsinxdx

=−cosxsinⁿ⁻¹x∣^π/2₀+(n−1)^π/2∫₀sinⁿ⁻²xcos²xdx

=(n−1)^π/2∫₀(sinⁿ⁻²x−sinⁿx)dx

=(n−1)I_n−2−(n−1)I_n

Vậy I_n=n−1/n_In−2

b) I₃=2/3,I₅=8/15

Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Đặt I_m,n=¹∫₀x^m(1−x)ⁿdx,m,n∈N∗Im. Chứng minh rằng:I_m,n=n/m+1I_m+1,_n−1,m>0,n>1

Từ đó tính I_1,2 và I_1,3.

Hướng dẫn làm bài

Dùng tích phân từng phần với u=(1−x)ⁿ,dv=x^mdx, ta được:

I_m,n=x^m+1/m+1(1−x)ⁿ∣¹₀+n/m+1¹∫₀x^m+1(1−x)ⁿ⁻¹dx

Vậy I_m,n=n/m+1¹∫₀x^m+1(1−x)ⁿ⁻¹dx

=n/m+1.I_m+1,n−1,n>1,m>0

I_1,2=1/12 và I_1,3=1/20

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.