Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số phần II

Giải phương trình vi phân sẽ minh họa bằng sự tính toán dòng điện cho mạch RL nối tiếp.

Cho mạch điện RL trong hình 2.4 sức điện động hiệu dụng khi đóng khóa là:

e(t) = 5t 0  t  0,2

e(t) = 1 t > 0,2

Điện trở cho theo đơn vị ohms là.

R = 1+3i²

Và điện cảm theo đơn vị henrys là.

L = 1

Tìm dòng điện trong mạch điện theo các phương pháp sau:

1. Euler’s
2. Biến đổi Euler.
3. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta
4. Milne’s
5. Picard’s

Bài giải:

Phương trình vi phân của mạch điện là.

Thay thế cho R và L ta có:

Điều kiện ban đầu tại t = 0 thì e₀ = 0 và i₀ = 0. Khoảng chọn cho biến độc lập là:

Δt = 0,025.

a. Phương trình theo phương pháp Euler là.

i_n+1 = i_n +Δi_n

Với

Thay thế giá trị ban đầu vào trong phương trình vi phân, và Δi₀. Vì thế, dòng điện i₁ = 0. Tại t₁ = 0,025; e₁ = 0,125 và

Δi₁ = (0,125)0,025 = 0,00313

Thì

i₂ = 0 + 0,00313 = 0,00313

Phương trình của phương pháp biến đổi Euler là.

Với didt∣n+1(0)=en+1−{1+3(in+1(0))2}in+1(0) size 12{ { { ital "di"} over { ital "dt"} } line rSub { size 8{n+1} } rSup { size 8{ ( 0 ) } } =e rSub { size 8{n+1} } - lbrace 1+3 ( i rSub { size 8{n+1} } rSup { size 8{ ( 0 ) } } ) rSup { size 8{2} } rbrace i rSub { size 8{n+1} } rSup { size 8{ ( 0 ) } } } {}

Thay thế giá trị ban đầu e₀ = 0 và i₀ = 0 vào trong phương trình vi phân

Do đó:

Thay thế vào trong phương trình vi phân i1(0)=0 size 12{i rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ ( 0 ) } } =0} {} và e₁ = 0,125

Và Δi0(1)=(0,125+02)0,025=0,00156 size 12{Δi rSub { size 8{0} } rSup { size 8{ ( 1 ) } } = ( { {0,"125"+0} over {2} } ) 0,"025"=0,"00156"} {}

Nên

Trong lời giải ví dụ cho phương pháp, không thực hiện lặp lại in+1(1)=in+1 size 12{i rSub { size 8{n+1} } rSup { size 8{ ( 1 ) } } =i rSub { size 8{n+1} } } {}. Bài giải thu được bằng phương pháp biến đổi Euler được đưa vào trong bảng 2.2.