Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

. Tài liệu giúp bạn nắm chắc kiến thức của bài Nhị thức Niu - tơn thông qua việc hướng dẫn giải các bài tập được nêu trong SGK. Mời các bạn tham khảo.

Giải bài tập trang 54, 55 SGK Giải tích 11: Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

Giải bài tập trang 46 SGK Giải tích 11: Quy tắc đếm

Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:

a) (a + 2b)⁵                          b) (a - √2)⁶                           c) (x - 1/x)¹³

Bài giải:

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵ = a⁵ + 5a⁴(2b) + 10a³(2b)² + 10a²(2b)³ + 5a(2b)⁴ + (2b)⁵
             = a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)⁶ = [a + (-√2)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-√2) + 15a⁴ (-√2)² + 20a³ (-√2)³ + 15a² (-√2)⁴ + 6a(-√2)⁵ + (-√2)⁶ = a⁶ - 6√2a⁵ + 30a⁴ - 40√2a³ + 60a² - 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 2. Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức: 

Bài giải:

Trong tổng này, số hạng C^k₆ . 2^k . x^{6 - 3k} có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

Do đó hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là: 2 . C¹₆ = 2 . 6 = 12.

Bài 3. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 - 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Bài giải:

Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: 

Suy ra hệ số của x² trong khai triển này là 3²C²_n. Theo giả thiết, ta có:

3²C²_n = 90 => C²_n = 10.

Từ đó ta có: = 10 ⇔ n(n - 1) = 20.

⇔ n² – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

Đáp số: n = 5.

Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x³ + 1/x)⁸

Bài giải:

Ta có: 

Trong tổng này, số hạng C^k₈ x^{24 - 4k} không chứa x khi và chỉ khi

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.

Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Bài giải:

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)¹⁷ bằng:

f(1) = (3 – 4)¹⁷ = (– 1)¹⁷ = -1.

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;
b) 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000;
c) √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1- √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.

Bài giải:

a) 11¹⁰ – 1 = (1 + 10)¹⁰ – 1 = (1 + C¹₁₀ 10 + C²₁₀ 10² + ... +C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰) – 1

                = 10² + C²₁₀ 10² +...+ C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101¹⁰⁰ – 1 = (1 + 100)¹⁰⁰ - 1

                = (1 + C¹₁₀₀ 100 + C²²₁₀₀ 100² + ...+ C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰) – 1.

                = 100² + C²₁₀₀ 100² + ...+ C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000.

c) (1 + √10)¹⁰⁰ = 1 + C¹₁₀₀ √10 + C²₁₀₀ (√10)² +...+ C⁹⁹₁₀₀ (√10)⁹⁹ + C¹⁰⁰₁₀₀ (√10)¹⁰⁰

(1 - √10)¹⁰⁰ = 1 - C¹₁₀₀ √10 + C²₁₀₀ (√10)² -...- C⁹⁹₁₀₀ (√10)⁹⁹ + C¹⁰⁰₁₀₀ (√10)¹⁰⁰

√10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1 - √10)¹⁰⁰] = 2√10[C¹₁₀₀ √10 + C³₁₀₀ (√10)³ +...+ C⁹⁹₁₀₀ (√10)⁹⁹]

= 2(C¹₁₀₀ 10 + C³₁₀₀ 10² +...+ C⁹⁹₁₀₀ 10⁵⁰)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1 - √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.