Giải bài 8 trang 178 sgk Đại số 11

Chương 5: Đạo hàm

Ôn tập cuối năm

Bài 8 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ

Lời giải:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈N ∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1. Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n ∈N ∗.

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi n ∈N ∗ ta có:n³+5n chia hết cho 6.

Chứng minh: Đặt P(n) = n³+5n.

Với n =1 => P(1) = 6 ⋮ 6

Giả sử (P_n) chia hết cho 6 đúng với n=k ≥1, nghĩa là, ta có:

P(k)=(k³+5k)⋮6.

Ta có: P(k+1)=(k+1)³+5(k+1)=k³+3k²+3k+1+5k+5

=k³+5k+3(k²+k)+6

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có: k³+5k)⋮6.

Hơn nữa k²+k=k(k+1):2 ( hai số tự nhiên tiếp k, k +1 phải có một số chẵn do k(k+1):2).

Do vậy P(k+1)⋮6. Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp, ta có P(n) = n³+5n chia hết cho 6 với mọi n ∈N ∗.

Các bài giải bài tập Đại số 11 Ôn tập cuối năm