Giải bài 4, 5, 6 trang 18 SGK Giải tích 12

Bài 4 trang 18 sách sgk giải tích 12

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số (m), hàm số

(y{ m{ }} = { m{ }}{x^3}-{ m{ }}m{x^2}-{ m{ }}2x{ m{ }} + { m{ }}1)

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Giải:

(y{ m{ }} = { m{ }}3{x^2}-{ m{ }}2mx{ m{ }}-{ m{ }}2{ m{ }},Delta ' = { m{ }}{m^{2}} + { m{ }}6{ m{ }} > { m{ }}0) nên (y’ = 0) có hai nghiệm phân biệt và (y’) đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài 5 trang 18 sách sgk giải tích 12

Tìm (a) và (b) để các cực trị của hàm số

(y=frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b)

đều là những số dương và (x_{0}=-frac{5}{9}) là điểm cực đại.

Giải:

- Xét (a = 0) hàm số trở thành (y = -9x + b). Trường hợp này hàm số không có cực trị.

- Xét (a e 0). Ta có : (y{ m{ }} = { m{ }}5{a^2}{x^2} + { m{ }}4ax{ m{ }}-{ m{ }}9); (y’= 0 )(⇔ x=-frac{1}{a}) hoặc (x=-frac{9}{5a})

- Với (a < 0) ta có bảng biến thiên :

Theo giả thiết (x_{0}=-frac{5}{9}) là điểm cực đại nên (frac{1}{a}=-frac{5}{9}Leftrightarrow a=frac{9}{5}). Theo yêu cầu bài toán thì

(y_{(CT)}=yleft ( -frac{9}{5a} ight )=y(1)>0)

(Leftrightarrow frac{5}{3}cdot left ( -frac{9}{5} ight )^{2}+2cdot left ( -frac{9}{5} ight )-9+b>0Leftrightarrow b>frac{36}{5}.)

- Với (a > 0) ta có bảng biến thiên :

Vì (x_{0}=-frac{5}{9})  là điểm cực đại nên (-frac{9}{5a}=-frac{5}{9}Leftrightarrow a=frac{81}{25}). Theo yêu cầu bài toán thì: (y_{(ct)}=yleft ( frac{1}{a} ight )=yleft ( frac{25}{81} ight )>0)

(Leftrightarrow frac{5}{3}cdot left ( frac{81}{25} ight )^{2}left ( frac{25}{81} ight )^{3}+2.frac{81}{25}cdot left ( frac{25}{81} ight )^{2}-9cdot frac{25}{81}+b>0)

(Leftrightarrow b>frac{400}{243}.)

Vậy các giá trị (a, b) cần tìm là: 

(left{egin{matrix} a=-frac{9}{5} & b>frac{36}{5} & end{matrix} ight.) hoặc (left{egin{matrix} a=frac{81}{25} & b>frac{400}{243} & end{matrix} ight.).

Xác định giá trị của tham số (m) để hàm số (y=frac{x^{2}+mx+1}{x+m}) đạt cực đại tại (x = 2).

Giải:

Tập xác định : (D=mathbb{R}setminus left { -m ight };) 

(y'=frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.)

Nếu hàm số đạt cực đại tại (x = 2) thì (y'(2) = 0) (⇔ {m^{2}} + { m{ }}4m{ m{ }} + { m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)

- Với (m = -1),  ta có : (y=frac{x^{2}-x+1}{x-1};)

(y'=frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y'=0Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2} -2x=0& x eq 1 & end{matrix} ight.)

(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại (x = 2).

- Với (m = -3), ta có: (y=frac{x^{2}3x+1}{x-3};)

(y'=frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y'=0Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2-6x+8=0} & x eq 3 & end{matrix} ight.)

(Leftrightarrow x=2) hoặc (x=4)

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại (x = 2).

Vậy (m = -3) là giá trị cần tìm.

Zaidap.com