Giải bài 3 trang 31 SGK Hình Học 12 nâng cao

Ôn tập chương 1

Bài 3 (trang 31 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mp(ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện.

a) Kể tên bốn khối tứ diện.

b) Chứng tở rằng bốn khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.

c) Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.

Lời giải:

a) 4 khối tứ diện đó là: BCEF, ACEF, BDEF, ADEF.

b) Do E là trung điểm của AB nên S_ΔBEF=S_ΔAEF

=> V_CBEF=V_CAEF và V_DBEF=V_DAEF

Hay V_BCEF=V_ADEF

Và V_BDEF=V_ADEF     (1)

Tương tự S_ΔCEF=S_ΔDEF

=> V_ACEF=V_ADEF    (2)

Từ (1) và (2)

V_BCEF=V_ADEF=V_BDEF=V_ADEF

c) Nếu ABCD là khối tứ diện đều thì (CED), (ABF) là các mặt phẳng đối xứng của tứ diện.

Cách 1. Ta có: phép đối xứng qua (ABF) biến tứ diện BCEF, ACEF thành ADEF (1), phép đối xứng qua (CED) biến DBEF thành DAEF hay ADEF (2)

Từ (1) và (2) suy ra các tứ diện BCEF, ACEF, ADEF, BDEF bằng nhau.

Cách 2. Thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng (ABF).

Ta có: tứ diện BCEF biến BDEF, AECF biến thành AEDF (1) do EF là trục đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện BCEF thành ADEF (2)

Từ (1) và (2) đpcm.

Các bài giải bài tập Hình học 12 nâng cao Ôn tập chương 1