Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 36 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 3.5 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) ({cos ^2}x + 2sin xcos x + 5{sin ^2}x = 2)

b) (3{cos ^2}x - 2sin 2x + {sin ^2}x = 1)

c) (4{cos ^2}x - 3sin xcos x + 3{sin ^2}x = 1)

Giải

a) ({cos ^2}x + 2sin xcos x + 5{sin ^2}x = 2)

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos²x ta được:

(eqalign{
& 1 + 2 an x + 5{ an ^2}x = 2left( {1 + {{ an }^2}x} ight) cr
& Leftrightarrow 3{ an ^2}x + 2 an x - 1 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
an x = - 1 hfill cr
an x = {1 over 3} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = - {pi over 4} + kpi ,k in { m Z} hfill cr
x = arctan {1 over 3} + kpi ,k in { m Z} hfill cr} ight. cr} )

b) (3{cos ^2}x - 2sin 2x + {sin ^2}x = 1)

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm (x = {pi  over 2} + kpi ,k in { m Z})

Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos²x ta được:

(eqalign{
& 3 - 4 an x + { an ^2}x = 1 + { an ^2}x cr
& Leftrightarrow 4 an x = 2 cr
& Leftrightarrow an x = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow x = arctan {1 over 2} + kpi ,k in { m Z} cr} )

Vậy nghiệm của phương trình là (x = {pi  over 2} + kpi ,k in { m Z}) và (x = arctan {1 over 2} + kpi ,k in { m Z})

c) (4{cos ^2}x - 3sin xcos x + 3{sin ^2}x = 1)

Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

(eqalign{
& 4 - 3 an x + 3{ an ^2}x = 1 + { an ^2}x cr
& Leftrightarrow 2{ an ^2}x - 3 an x + 3 = 0 cr} )

Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3.6 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) (2cos x - sin x = 2)

b) (sin 5x + cos 5x =  - 1)

c) (8{cos ^4}x - 4cos 2x + sin 4x - 4 = 0)

d) ({sin ^6}x + {cos ^6}x + {1 over 2}sin 4x = 0)

Giải

a) 

(eqalign{
& 2cos x - sin x = 2 cr
& Leftrightarrow sqrt 5 left( {{2 over {sqrt 5 }}cos x - {1 over {sqrt 5 }}sin x} ight) = 2 cr} )

Kí hiệu α là góc mà (cos alpha  = {2 over {sqrt 5 }}) và ({ m{sin}}alpha  =  - {1 over {sqrt 5 }}), ta được phương trình

(eqalign{
& cos alpha cos x + sin alpha sin x = {2 over {sqrt 5 }} cr
& Leftrightarrow cos left( {x - alpha } ight) = cos alpha cr
& Leftrightarrow x - alpha = pm alpha + k2pi ,k in { m Z} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2alpha + k2pi ,k in Z hfill cr
x = k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr} )

b) 

(eqalign{
& sin 5x + cos 5x = - 1 cr
& Leftrightarrow sqrt 2 left( {{{sqrt 2 } over 2}sin 5x + {{sqrt 2 } over 2}cos 5x} ight) = - 1 cr
& Leftrightarrow cos {pi over 4}sin 5x + sin {pi over 4}cos 5x = - {{sqrt 2 } over 2} cr
& Leftrightarrow sin left( {5x + {pi over 4}} ight) = sin left( { - {pi over 4}} ight) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
5x + {pi over 4} = - {pi over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr
5x + {pi over 4} = {{5pi } over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = - {pi over {10}} + k{{2pi } over 5},k in Z hfill cr
x = {pi over 5} + k{{2pi } over 5},k in Z hfill cr} ight. cr} )

c) 

(eqalign{
& 8{cos ^4}x - 4cos 2x + sin 4x - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow 8{left( {{{1 + cos 2x} over 2}} ight)^2} - 4cos 2x + sin 4x - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow 2left( {1 + 2cos 2x + {{cos }^2}2x} ight) - 4cos 2x + sin 4x - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{cos ^2}2x + sin 4x - 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 1 + cos 4x + sin 4x - 2 = 0 cr
& Leftrightarrow cos 4x + sin 4x = 1 cr
& Leftrightarrow sin left( {4x + {pi over 4}} ight) = sin {pi over 4} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
4x + {pi over 4} = {pi over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr
4x + {pi over 4} = {{3pi } over 4} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {pi over 8} + k{pi over 2},k in Z hfill cr} ight. cr} )

d)

(eqalign{
& {sin ^6}x + {cos ^6}x + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} ight)^3} - 3{sin ^2}x{cos ^2}xleft( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} ight) + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 - 3{sin ^2}x{cos ^2}x + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 - 3{left( {{{sin 2x} over 2}} ight)^2} + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 - {3 over 4}{sin ^2}2x + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 1 - {3 over 4}.{{1 - cos 4x} over 2} + {1 over 2}sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 8 - 3 + 3cos 4x + 4sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow 3cos 4x + 4sin 4x = - 5 cr
& Leftrightarrow {3 over 5}cos 4x + {4 over 5}sin 4x = - 1 cr} )

Kí hiệu α là cung mà (sin alpha  = {3 over 5},cos alpha  = {4 over 5}) ta được:

(eqalign{
& Leftrightarrow sin left( {4x + alpha } ight) = - 1 cr
& Leftrightarrow 4x + alpha = {{3pi } over 2},k in Z cr
& Leftrightarrow x = {{3pi } over 8} - {alpha over 4} + k{pi over 2},k in Z cr} )   

Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (1 + sin x - cos x - sin 2x + 2cos 2x = 0)

b) (sin x - {1 over {sin x}} = {sin ^2}x - {1 over {{{sin }^2}x}})

c) (cos x an 3x = sin 5x)

d) (2{ an ^2}x + 3 an x + 2{cot ^2}x + 3cot x + 2 = 0)

Giải:

a) (1 + sin x - cos x - sin 2x + 2cos 2x = 0{ m{        }}left( 1 ight))

Ta có: 

(eqalign{
& 1 - sin 2x = {left( {sin x - cos x} ight)^2}; cr
& 2cos 2x = 2left( {{{cos }^2}x - {{sin }^2}x} ight) cr
& = - 2left( {sin x - cos x} ight)left( {sin x + cos x} ight), cr} )

Vậy 

(eqalign{
& left( 1 ight) Leftrightarrow left( {sin x - cos x} ight)left( {1 + sin x - cos x - 2sin x - 2cos x} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {sin x - cos x} ight)left( {1 - sin x - 3cos x} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = cos x hfill cr
3cos x + sin x = 1 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
{3 over {sqrt {10} }}cos x + {1 over {sqrt {10} }}sin x = {1 over {sqrt {10} }} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi ,k in Z hfill cr
x = alpha pm arccos {1 over {sqrt {10} }} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr} )

trong đó, (cos alpha  = {3 over {sqrt {10} }},sin alpha  = {1 over {sqrt {10} }})

b) (sin x - {1 over {sin x}} = {sin ^2}x - {1 over {{{sin }^2}x}}left( 2 ight))

Điều kiện sinx ≠ 0

(eqalign{
& left( 2 ight) Leftrightarrow left( {sin x - {{sin }^2}x} ight) + left( {{1 over {{{sin }^2}x}} - {1 over {sin x}}} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow sin xleft( {1 - sin x} ight) + {{1 - sin x} over {{{sin }^2}x}} = 0 cr
& Leftrightarrow left( {1 - sin x} ight)left( {{{sin }^3}x + 1} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 1 hfill cr
sin x = - 1 hfill cr} ight. Rightarrow x = {pi over 2} + kpi ,k in Z cr} )

(thỏa mãn điều kiện)

c) (cos x an 3x = sin 5xleft( 3 ight))

Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

(eqalign{
& left( 3 ight) Leftrightarrow cos xsin 3x = cos 3xsin 5x cr
& Leftrightarrow {1 over 2}left( {sin 4x + sin 2x} ight) = {1 over 2}left( {sin 8x + sin 2x} ight) cr
& Leftrightarrow sin 8x = sin 4x cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
8x = 4x + k2pi ,k in Z hfill cr
8x = pi - 4x + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {pi over {12}} + k{pi over 6},k in Z hfill cr} ight. cr} )

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

(x = kpi ,k in Z) và (x = {pi  over {12}} + k{pi  over 6},k in Z)

d) (2{ an ^2}x + 3 an x + 2{cot ^2}x + 3cot x + 2 = 0left( 4 ight))

Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,

(eqalign{
& left( 4 ight) Leftrightarrow 2left( {{{ an }^2}x + {{cot }^2}x} ight) + 3left( { an x + cot x} ight) + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 2left[ {{{left( { an x + cot x} ight)}^2} - 2} ight] + 3left( { an x + cot x} ight) + 2 = 0 cr})

Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

(2{t^2} + 3t - 2 = 0 Rightarrow t =  - 2,t = {1 over 2})

Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

(eqalign{
& Leftrightarrow { an ^2}x + 2 an x + 1 = 0 Rightarrow an x = - 1 cr
& Rightarrow x = - {pi over 4} + kpi ,k in Z{ m{ }} cr} )

(thỏa mãn điều kiện)

Với (t = {1 over 2}) ta có ( an x + cot x = {1 over 2} Leftrightarrow 2{ an ^2}x - an x + 2 = 0)

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là (x =  - {pi  over 4} + kpi ,k in Z)

Bài 3.8 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải phương trình

(cot x - an x + 4sin 2x = {2 over {sin 2x}})

Giải

Hướng dẫn: Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

Cách 1: Điều kiện của phương trình:

(sin 2x e 0 Leftrightarrow cos 2x e  pm 1{ m{       }}left( 1 ight))

Ta có:

(eqalign{
& cot x - an x + 4sin 2x = {2 over {sin 2x}} cr
& Leftrightarrow {{cos x} over {sin x}} - {{sin x} over {cos x}} + 4sin 2x - {2 over {sin 2x}} = 0 cr
& Leftrightarrow {{{{cos }^2}x - {{sin }^2}x} over {sin x.cos x}} + 4sin 2x - {2 over {sin 2x}} = 0 cr
& Leftrightarrow {{2cos 2x} over {sin 2x}} + 4sin 2x - {2 over {sin 2x}} = 0 cr
& Leftrightarrow 2cos 2x + 4{sin ^2}2x - 2 = 0 cr
& Leftrightarrow cos 2x + 2left( {1 - {{cos }^2}2x} ight) - 1 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{cos ^2}2x - cos 2x - 1 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos 2x = 1{ m{ (loại)}} hfill cr
cos 2x = - {1 over 2} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow 2x = pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in Z cr
& Leftrightarrow x = pm {pi over 3} + kpi ,k in Z cr} )

Cách 2. Đặt t = tanx

Điều kiện t ≠ 0

Phương trình đã cho có dạng

(eqalign{
& {1 over t} - t + 4.{{2t} over {1 + {t^2}}} = {{1 + {t^2}} over t} cr
& Leftrightarrow {{1 - {t^2}} over t} + {{8t} over {1 + {t^2}}} - {{1 + {t^2}} over t} = 0 cr
& Leftrightarrow 1 - {t^4} + 8{t^2} - {left( {1 + {t^2}} ight)^2} = 0 cr
& Leftrightarrow - 2{t^4} + 8{t^2} - 2{t^2} = 0 cr
& Leftrightarrow {t^4} - 3{t^2} = 0 cr
& Rightarrow {t^2}left( {{t^3} - 3} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = 0{ m{ }}left( {{ m{loại ,, do}}left( 2 ight)} ight) hfill cr
t = pm sqrt 3 hfill cr} ight. cr
& an x = pm sqrt 3 Leftrightarrow x = pm {pi over 3} + kpi ,k in Z cr} )

Zaidap.com