Giải bài 2.4, 2.5, 2.6 trang 23 Sách bài tập Đại số và giải tích 11

Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

 Giải các phương trình:

a) ({{sin 3x} over {cos 3x - 1}} = 0)    

b) (cos 2xcot left( {x - {pi  over 4}} ight) = 0)    

c) ( an left( {2x + {{60}^o}} ight)cos left( {x + {{75}^o}} ight) = 0)   

d) (left( {cot x + 1} ight)sin 3x = 0)   

Giải:

a) Điều kiện: cos3x ≠ 1. Ta có:

sin3x = 0 ⇒ 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ Z bị loại nên 3x = (2m + 1)π. Vậy nghiệm của phương trình là (x = left( {2m + 1} ight){pi  over 3},m in Z)

b) Điều kiện: (sin left( {x - {pi  over 4}} ight) e 0). Biến đổi phương trình:

(cos 2x.cot left( {x - {pi  over 4}} ight) = 0 Rightarrow cos 2x.cos left( {x - {pi  over 4}} ight) = 0)

( Rightarrow left[ matrix{
cos 2x = 0 hfill cr
cos left( {x - {pi over 4}} ight) = 0 hfill cr} ight. Rightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + k{pi over 2},k in Z hfill cr
x = {{3pi } over 4} + kpi ,k in Z. hfill cr} ight.)

Do điều kiện, các giá trị (x = {pi  over 4} + 2m{pi  over 2},m in Z) bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:

(x = {pi  over 4} + left( {2m + 1} ight){pi  over 2},m in Z) và (x = {{3pi } over 4} + kpi ,k in Z)

c) Điều kiện:

(cos left( {2x + {{60}^o}} ight) e 0)

(eqalign{
& an left( {2x + {{60}^o}} ight)cos left( {x + {{75}^o}} ight) = 0 cr
& Rightarrow sin left( {2x + {{60}^o}} ight)cos left( {x + {{75}^o}} ight) = 0 cr
& Rightarrow left[ matrix{
sin left( {2x + {{60}^o}} ight) = 0 hfill cr
cos left( {x + {{75}^o}} ight) = 0 hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left[ matrix{
2x + {60^o} = k{180^o} hfill cr
x + {75^o} = {90^o} + k{180^o},k in Z hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = - {30^o} + k{90^o},k in Z hfill cr
x = {15^o} + k{180^o},k in Z hfill cr} ight. cr})

Do điều kiện ở trên, các giá trị (x = {15^o} + k{180^o},k in Z) bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là: (x =  - {30^o} + k{90^o},k in Z)

d) Điều kiện: sinx ≠ 0. Ta có:

(eqalign{
& left( {cot x + 1} ight)sin 3x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cot x = - 1 hfill cr
sin 3x = 0 hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left[ matrix{
x = - {pi over 4} + kpi ,k in Z hfill cr
x = k{pi over 3},k in Z hfill cr} ight. cr} )

Do điều kiện sinx ≠ 0 nên những giá trị (x = k{pi  over 3}) và (k = 3m,m in Z) bị loại.

Vậy nghiệm của phương trình là:

(x =  - {pi  over 4} + kpi { m{ ; }}x = {pi  over 3} + kpi) và (x = {{2pi } over 3} + kpi ,k in Z)

Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau

a) (y = cos left( {2x - {pi  over 3}} ight)$ và $y = cos left( {{pi  over 4} - x} ight))

b) (y = sin left( {3x - {pi  over 4}} ight)$ và $y = sin left( {x + {pi  over 6}} ight))

c) (y = an left( {2x + {pi  over 5}} ight)$ và $y = an left( {{pi  over 5} - x} ight))     

d) (y = cot 3x) và (y = cot left( {x + {pi  over 3}} ight))  

Giải:

a)

(eqalign{
& cos left( {2x - {pi over 3}} ight) = cos left( {{pi over 4} - x} ight) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x - {pi over 3} = {pi over 4} - x + k2pi ,k in Z hfill cr
2x - {pi over 3} = - {pi over 4} + x + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x = {{7pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr
x = {pi over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr} )

Vậy các giá trị cần tìm là: (x = {{7pi } over {36}} + k{{2pi } over 3},k in Z) và (x = {pi  over {12}} + k2pi ,k in Z)

b)

(eqalign{
& sin left( {3x - {pi over 4}} ight) = sin left( {x + {pi over 6}} ight) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
3x - {pi over 4} = x + {pi over 6} + k2pi ,k in Z hfill cr
3x - {pi over 4} = pi - x - {pi over 6} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2x = {{5pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr
4x = {{13pi } over {12}} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {{5pi } over {24}} + kpi ,k in Z hfill cr
x = {{13pi } over {48}} + k{pi over 2},k in Z hfill cr} ight. cr} )

Vậy các giá trị cần tìm là: (x = {{5pi } over {24}} + kpi ,k in Z) và (x = {{13pi } over {48}} + k{pi  over 2},k in Z)

c)

(eqalign{
& an left( {2x + {pi over 3}} ight) = an left( {{pi over 5} - x} ight) cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
cos left( {2x + {pi over 5}} ight) e 0;,,cos left( {{pi over 5} - x} ight) e 0left( 1 ight) hfill cr
2x + {pi over 5} = {pi over 5} - x + kpi ,k in Zleft( 2 ight) hfill cr} ight. cr
& left( 2 ight) Leftrightarrow x = {{kpi } over 3},k in Z cr} )

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: (x = {{kpi } over 3},k in Z)

d) 

(eqalign{
& cot 3x = cot left( {x + {pi over 3}} ight) cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
sin 3x e 0;,,sin left( {x + {pi over 3}} ight) e 0,,,,,left( 3 ight) hfill cr
3x = x + {pi over 3} + kpi ,k in Z,,,,left( 4 ight) hfill cr} ight. cr
& left( 4 ight) Leftrightarrow x = {pi over 6} + {{kpi } over 2},k in Z cr} )

Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).

Suy ra các giá trị cần tìm là (x = {pi  over 6} + mpi ,m in Z)

Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

a) cos 3x - sin 2x = 0

b) tanx. tan 2x =  - 1   

c) sin 3x + sin 5x = 0    

d) cot 2x. cot 3x = 1

Giải:

a) 

(eqalign{
& cos 3x - sin 2x = 0 cr
& Leftrightarrow cos 3x = sin 2x cr
& Leftrightarrow cos 3x = cos left( {{pi over 2} - 2x} ight) cr
& Leftrightarrow 3x = pm left( {{pi over 2} - 2x} ight) + k2pi ,k in Z cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
5x = {pi over 2} + k2pi ,k in Z hfill cr
x = - {pi over 2} + k2pi ,k in Z hfill cr} ight. cr} )

Vậy nghiệm của phương trình là: (x = {pi  over {10}} + {{k2pi } over 5},k in Z) và (x =  - {pi  over 2} + k2pi ,k in Z)

b) Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0

(eqalign{
& an x. an 2x = - 1 cr
& Rightarrow sin x.sin 2x = - cos x.cos 2x cr
& Rightarrow cos 2x.cos x + sin 2x.sin x = 0 cr
& Rightarrow cos x = 0 cr} )

Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.

c) 

(eqalign{
& sin 3x + sin 5x = 0 cr
& Leftrightarrow 2sin 4x.cos x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin 4x = 0 hfill cr
cos x = 0 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
4x = kpi ,k in Z hfill cr
x = {pi over 2} + kpi ,k in Z hfill cr} ight. cr} )

Vậy nghiệm của phương trình là: (x = {{kpi } over 4},k in Z{ m{ }}) và (x = {pi  over 2} + kpi ,k in Z)

d) Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0

(eqalign{
& cot 2x.cot 3x = 1 cr
& Rightarrow cos 2x.cos 3x = sin 2x.sin 3x cr
& Rightarrow cos 2x.cos 3x - sin 2x.sin 3x = 0 cr
& Rightarrow cos 5x = 0 Rightarrow 5x = {pi over 2} + kpi ,k in Z cr
& Rightarrow x = {pi over {10}} + {{kpi } over 5},k in Z cr} )

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

(eqalign{
& x = {pi over {10}} + left( {2 + 5m} ight).{pi over 5} cr
& = {pi over {10}} + {{2pi } over 5} + mpi cr
& = {pi over 2} + mpi ,m in Z cr} )

Lúc đó (sin 2x = sin left( {pi  + 2mpi } ight) = 0), không thỏa mãn điều kiện.

Có thể suy ra nghiệm phương trình là (x = {pi  over {10}} + {{kpi } over 5},k in Z) và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z

Zaidap.com