Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 36, 37 Sách giáo khoa Giải tích 11

Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11

Giải phương trình 

({sin ^2}x - {mathop{ m sinx} olimits}  = 0).

Đáp án :

({sin ^2}x - {mathop{ m sinx} olimits}  = 0 Leftrightarrow sinx(sinx - 1) = 0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
{mathop{ m s} olimits} { m{in x = 0}} hfill cr
{ m{sin x = 1}} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = {pi over 2} + k2pi hfill cr} ight.;k in mathbb{Z})

Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

 a)(2co{s^2}x{ m{ }} - { m{ }}3cosx{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0);                            

b) (2sin2x{ m{ }} + sqrt 2 sin4x{ m{ }} = { m{ }}0).

Giải

 a) Đặt ( t = cosx, t in [-1 ; 1]) ta được phương trình:

(2{t^2} - { m{ }}3t{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow { m{ }}t in left{ {1;{1 over 2}} ight})

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

(cosx = 1 Leftrightarrow { m{ }}x = { m{ }}k2pi ) và (cosx = {1 over 2} Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }} =  pm {pi  over 3} + { m{ }}k2pi ).

 Vậy (x = { m{ }}k2pi ) và (x{ m{ }} =  pm {pi  over 3} + { m{ }}k2pi ) ((kinmathbb{Z})).

b) Ta có (sin4x = 2sin2xcos2x) (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

(left[ matrix{
sin 2x = 0 hfill cr
cos 2x = - {1 over {sqrt 2 }} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
2x = kpi hfill cr
2x = pm {{3pi } over 4} + k2pi hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = {{kpi } over 2} hfill cr
x = pm {{3pi } over 8} + kpi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (si{n^2}{x over 2} - { m{ }}2cos{x over 2} + { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}0);

b) (8co{s^2}x{ m{ }} + { m{ }}2sinx{ m{ }} - { m{ }}7{ m{ }} = { m{ }}0);

c) (2ta{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}3tanx{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0);          

d) (tanx{ m{ }} - { m{ }}2cotx{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0).

Giải

a) Đặt (t = { m{ }}cos{x over 2},{ m{ }}t in left[ { - 1{ m{ }};{ m{ }}1} ight]) thì phương trình trở thành

((1{ m{ }} - { m{ }}{t^2}){ m{ }} - { m{ }}2t{ m{ }} + { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow {t^{2}} + { m{ }}2t{ m{ }} - 3{ m{ }} = { m{ }}0) 

( Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = - 3 hfill ext{(loại)}cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương với

(cos{x over 2} = { m{ }}1 Leftrightarrow {x over 2} = { m{ }}k2pi  Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }} = { m{ }}4kpi ,{ m{ }}k inmathbb{Z} ).

 b) Đặt (t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]) thì phương trình trở thành

(8(1{ m{ }} - {t^2}){ m{ }} + { m{ }}2t{ m{ }} - { m{ }}7{ m{ }} = { m{ }}0{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}8{t^{2}} - { m{ }}2t{ m{ }} - { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
t = {1 over 2} hfill cr
t = - {1 over 4} hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương :

(sinx = {1 over 2} Leftrightarrow sin x = {pi over 6} Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 6} + k2pi hfill cr
x = {{5pi } over 6} + k2pi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

và

(sinx = - {1 over 4} Leftrightarrow sin x = arcsin left( { - {1 over 4}} ight))

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = arcsin left( { - {1 over 4}} ight) + k2pi hfill cr
x = pi - arcsin left( { - {1 over 4}} ight) + k2pi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

c) Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành 

(2{t^{2}} + { m{ }}3t{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = - 1 hfill cr
t = - {1 over 2} hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương:

(left[ matrix{
an x = - 1 hfill cr
an x = - {1 over 2} hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = - {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { - {1 over 2}} ight) + kpi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

d) Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành 

(t - {2 over t} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow {t^{2}} + { m{ }}t{ m{ }} - { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = - 2 hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương:

(left[ matrix{
{mathop{ m tanx} olimits} = 1 hfill cr
tanx = - 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan ( - 2) + kpi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))

Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (2si{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}sinxcosx{ m{ }} - { m{ }}3co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}0);

b) (3si{n^2}x{ m{ }} - { m{ }}4sinxcosx{ m{ }} + { m{ }}5co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}2);

c) (si{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}sin2x{ m{ }} - { m{ }}2co{s^2}x{ m{ }} = {1 over 2}) ;

d) (2co{s^2}x{ m{ }} - { m{ }}3sqrt 3 sin2x{ m{ }} - { m{ }}4si{n^2}x{ m{ }} = { m{ }} - 4).

Giải

a) Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương (2tan^2x + tanx - 3 = 0).

Đặt (t = tanx) thì phương trình này trở thành

(2{t^2} + t - 3 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = - {3 over 2} hfill cr} ight.)

Phương trình đã cho tương đương:

(left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
an x = - {3 over 2} hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { - {3 over 2}} ight) + kpi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))

b)(3si{n^2}x{ m{ }} - { m{ }}4sinxcosx{ m{ }} + { m{ }}5co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}2)

(Leftrightarrow 3si{n^2}x{ m{ }} - { m{ }}4sinxcosx{ m{ }} + { m{ }}5co{s^2}x{ m{ }} = { m{ }}2si{n^2}x{ m{ }})

(+ { m{ }}2co{s^2}x)

(Leftrightarrow sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0)

Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương 

(Leftrightarrow tan^2x - 4tanx + 3 = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
an x = 3 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan 3 + kpi hfill cr} ight.(k in mathbb{Z}))

c) (si{n^2}x{ m{ }}+{ m{ }}sin2x{ m{ }} - { m{ }}2co{s^2}x{ m{ }} = {1 over 2})

 (Leftrightarrow si{n^2}x{ m{ }} + 2sinxcosx- { m{ }}2co{s^2}x{ m{ }} =)

({1 over 2}(sin^2x+cos^2x))

({1 over 2}si{n^2}x{ m{ }} + { m{ }}2sinxcosx{ m{ }} -{5over 2}co{s^2}x = 0)

( Leftrightarrow si{n^2}x +4sin xcos x - 5{cos ^2}x = 0)

Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho (cos^2x) ta được phương trình tương đương 

( an x + 4 an x - 5= 0 Leftrightarrow left[ matrix{
an x = 1 hfill cr
an x = -5 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan (-5)+ kpi hfill cr} ight.(k inmathbb{Z} ))

d) (2co{s^2}x{ m{ }} - { m{ }}3sqrt 3 sin2x{ m{ }} - { m{ }}4si{n^2}x{ m{ }} = { m{ }} - 4)

(Leftrightarrow 2{cos ^2}x - 3sqrt 3 sin 2x + 4 - 4{sin ^2}x = 0)

(Leftrightarrow 2{cos ^2}x - 3sqrt 3 sin 2x + 4 - 4(1 - {cos ^2}x) = 0)

(Leftrightarrow 6{cos ^2}x - 6sqrt 3 sin xcos x = 0)

(Leftrightarrow 6cos x(cos x - sqrt 3 sin x) = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
cos x = 0(1) hfill cr
cos x - sqrt 3 sin x = 0(2) hfill cr} ight.)

Giải (1) ta được (x={piover 2}+kpi) ((kinmathbb{Z}))

Giải (2): Dễ thấy (cosx = 0) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho (cosx) ta được phương trình tương đương:  

(tanx={1oversqrt3}Leftrightarrow x={piover6}+kpi(kinmathbb{Z}))

Zaidap.com