Giải bài 1,2,3,4,5,6 trang 57,58 sgk đại số và giải tích 11: Nhị thức Niu – Tơn

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 1 trang 57; bài 2,3,4,5,6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11: Nhị thức Niu – Tơn – chương 2.

→ Bài trước :Giải bài tập SGK: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Bài 1 trang 57 SGK  Đại số và giải tích lớp 11

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:
a) (a + 2b)⁵;                          b) (a – √2)⁶;

c) (x – 1/x)¹³.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵= a⁵ + 5a⁴ (2b) + 10a³(2b)² + 10a² (2b)³ + 5a (2b)⁴ + (2b)⁵

= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a – √2)⁶ = [a + (-√2)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-√2) + 15a⁴ (-√2)² + 20a³ (-√2)³ + 15a² (-√2)⁴ + 6a(-√2)⁵ + (-√2)⁶.

= a⁶ – 6√2a⁵ + 30a⁴ – 40√2a³ + 60a² – 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 2 trang 58 SGK  Đại số và giải tích lớp 11

Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

Trong tổng này, số hạng C^k₆ . 2^k . x^{6 – 3k} có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

  ⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là:

2 . C¹₆ = 2 . 6 = 12.

Bài 3 trang 58 SGK  Đại số và giải tích lớp 11

Biết hệ số của x²trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

(1 – 3x)ⁿ = [1 – (3x)]ⁿ = C^k_n (1)^{n – k} (-3)^k . x^k.

Suy ra hệ số của x²trong khai triển này là 3²C²_n .Theo giả thiết, ta có:

3²C²_n = 90 => C²_n = 10.

Từ đó ta có:

 = 10 ⇔ n(n – 1) = 20.

⇔ n² – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

ĐS: n = 5.

Bài 4 trang 58 SGK  Đại số và giải tích lớp 11

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x³ +1/x)⁸

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

Ta có: (x³ +1/x)⁸=

Trong tổng này, số hạng C^k₈ x^{24 – 4k} không chứa x khi và chỉ khi

 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.

Bài 5 trang 58 SGK  Đại số và giải tích lớp 11

Từ khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)¹⁷ bằng:

f(1) = (3 – 4)¹⁷= (– 1)¹⁷ = -1.

Bài 6 trang 58 SGK  Đại số và giải tích lớp 11

Chứng minh rằng:
a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;

b) 101¹⁰⁰– 1 chia hết cho 10 000;

c) √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1- √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

a) 11¹⁰ – 1 = (1 + 10)¹⁰ – 1 = (1 + C¹₁₀ 10 + C²₁₀10² + … +C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰) – 1

= 10² + C²₁₀10² +…+ C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101¹⁰⁰ – 1 = (1 + 100)¹⁰⁰ – 1

= (1 + C¹₁₀₀ 100 + C²₁₀₀ 100² + …+C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰) – 1.

= 100² + C²₁₀₀100² + …+C⁹⁹₁₀₀100⁹⁹ + 100¹⁰⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000.

c)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1 – √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.

Bài tiếp: Giải bài 1,2,3, 4,5,6, 7 trang 63,64 SGK Đại số giải tích 11: Phép thử và biến cố